如何在恒定时间内从给定的索引间隔（i，j）中找到元素的总和？答案

【问题标题】：How to find sum of elements from given index interval (i, j) in constant time?如何在恒定时间内从给定的索引间隔（i，j）中找到元素的总和？
【发布时间】：2010-03-18 20:23:02
【问题描述】：

给定一个数组。我们如何在常数时间内找到索引区间(i, j) 中的元素总和。您可以使用额外的空间。
示例：
答：3 2 4 7 1 -2 8 0 -4 2 1 5 6 -1
长度 = 14

int getsum(int* arr, int i, int j, int len);
// suppose int array "arr" is initialized here
int sum = getsum(arr, 2, 5, 14);

总和应该是 10 在恒定时间内。

【问题讨论】：

现在在O(log N) 中执行此操作，如果您还可以在查询之间更改元素的值:)。
int getsum(int* arr, int i, int j, int len) { return 10; } ;)
@Matt - 您的恒定时间版本非常慢。它应该是#define getsum(arr, i, j, len) 10 以获得最大效率。
@:IVlad 只有在每次元素值更改时给我O(log N) 时间！

标签： algorithm arrays

【解决方案1】：

如果您可以花费 O(n) 时间来“准备”辅助信息，并据此计算 O(1) 中的总和，那么您可以轻松做到。

准备（O(n)）：

aux[0] = 0;
foreach i in (1..LENGTH) {
  aux[i] = aux[i-1] + arr[i];
}

查询(O(1))，arr从1编号到LENGTH：

sum(i,j) = aux[j] - aux[i-1];

我认为这是本意，因为否则不可能：对于任何length 计算sum(0,length-1)，您应该扫描整个数组；这至少需要线性时间。

【讨论】：

我认为应该是 aux[j] - aux[i-1]。
@Lluis，如果我们从 1 开始计算数组（就是这种情况），那么它应该。
我正在尝试调整它以使用二维数组，但我不知道要更改什么，您介意启发我吗？
@DanielBo 当然。在一维情况下，区间有两个边界点，我们使用每个边界记录的“从开始到这里的总和”。在二维情况下（矩形）有多少个边界点有一个区间，“从开始到这里的总和”是什么意思？

【解决方案2】：

除非您存储信息，否则无法在恒定时间内完成。

您必须做一些事情，比如专门修改数组，以便为每个索引存储数组开头和该索引之间所有值的总和，然后在范围上使用减法来获得总和的差。

但是，您的代码示例中似乎没有任何内容允许这样做。该数组由用户创建（并且可以随时更改），您无法控制它。

任何需要扫描顺序未排序列表中的一组元素的算法都是 O(n)。

【讨论】：

是的，在加起来少于 15 个整数的情况下 :-)
您不需要为 14 整数数组存储 105 个整数。您可以通过累加和减法来解决问题。
@David，见第 3 段，我已经介绍过了（Pavel 也是如此，以更清晰的方式）。但这仍然是不可能的除非你可以控制数组。否则，您必须在每次调用函数时预先计算值，此时您可能根本不进行预先计算。
@paxdiablo：完全理解，但为什么是第二段？这就是吸引我眼球的地方。除此之外，这是一个很好的答案。
@David，这是我的第一个想法，我经常为了繁荣而离开大脑f*rts :-) 当我有更多机会考虑时，第三段被添加到编辑中它（这里是凌晨4点，我只是因为孩子们做噩梦，所以我可能有点累）。我会摆脱它，不过现在它与 Pavel 的差别不大。

【解决方案3】：

对于所提出的问题，以前的答案绝对没问题。我只是补充一点，如果这个问题有点像：

Find the sum of the interval, if the array gets changed dynamically.

如果数组元素发生变化，那么我们必须重新计算存储在辅助数组中的任何总和，如@Pavel Shved 的方法中所述。重新计算是 O(n) 操作，因此我们需要通过使用 Segment Tree 将复杂度降低到 O(nlogn)。

http://www.geeksforgeeks.org/segment-tree-set-1-sum-of-given-range/

【讨论】：

【解决方案4】：

给定 [l,r] 的基于范围的查询的三种已知算法

1.Segment树：总查询时间O(NlogN) 2.Fenwick树：总查询时间O(NlogN) 3.莫氏算法（平方根分解）

前两种算法可以处理给你的列表/数组中的修改。第三种算法或莫氏算法是离线算法，意味着所有查询都需要事先提供给您。此算法不允许修改列表/数组。有关该算法的实现、运行时和进一步阅读，您可以查看此Medium 博客。它用代码解释。而且很少有人真正知道这种方法。

【讨论】：

【解决方案5】：

这个问题将解决 O(n^2)time,O(n)space 或 O(n)time,O(n)space..

现在这种情况下的最佳最优解（即 O(n)time,O(n)）假设给定 a[]={1,3,5,2,6,4,9} 如果我们创建一个数组（sum[]），在其中我们将 0 索引的总和值保留到该特定索引。就像数组 a[]，sum 数组将是 sum[]={1,4,9,11, 17,21,30};喜欢 {1,3+1,3+1+5......} 这需要 O(n) 时间和 O(n) 空间.. 当我们给出索引时，它直接从 sum 数组中获取，这意味着 add(i,j)=sum[j]-sum[i-1];这需要 O(1) 次和 O(1) 个空格... 所以，这个程序需要 O(n) 时间和 O(N) 空间..

int sum[]=new int[l];

    sum[0]=a[0];
    System.out.print(cumsum[0]+" ");
   for(int i=1;i<l;i++)
   {
       sum[i]=sum[i-1]+a[i];
       System.out.print(sum[i]+" ");
   }

?* 这给出 1,4,9,11,17,21,30 并占用 O(n) 时间和 O(n) 个空格 */

sum(i,j)=sum[j]-sum[i-1]/这给出了从 i 到 j 的索引总和并占用 O(1) 时间和 O(1) 个空间/

所以，这个程序需要 O(n) 时间和 O(N) 空间..强调文本

【讨论】：