找出比较两个项目的概率。（请提示）答案

【问题标题】：Finding the probability that two items are compared. (hints please)找出比较两个项目的概率。（请提示）
【发布时间】：2016-04-20 18:51:29
【问题描述】：

我正在尝试解决以下问题（来自 Jeff Erikson 教授的笔记）：给定下面的算法，它接受一个未排序的数组 A 并返回数组中的第 k 个最小元素（假设 Partition 做了它的名称暗示通过给定由 Random 返回的枢轴（假定在线性时间内返回 1 和 n 之间的均匀随机整数）并返回枢轴的新索引）的标准快速排序方法，我们将找到 exact 该算法比较输入数组中第 i 个最小元素和第 j 个最小元素的概率。

QuickSelect(A[1..n],k):
  r <-- Partition(A[1..n],Random(n))

  if k < r:
    return QuickSelect(A[1..r-1],k)
  else if k > r:
    return QuickSelect(A[r+1..n],k-r)
  else:
    return A[k]

现在，我可以看到第一个 if 语句为真的概率为 (n-k)/n，第二个块为真的概率为 (k-1)/n，执行 else 语句的概率是 1/n。我也知道（假设 i

任何提示和/或建议将不胜感激。这是的家庭作业，所以我宁愿没有完整的解决方案给我，这样我就可以真正学到一点。提前致谢！

【问题讨论】：

这是通过模拟找到近似答案的问题之一。
@DavidEisenstat 这是否暗示我实际上实现了该算法并使用各种输入运行它几次，它会让我了解该函数应该是什么？
是的，就是这样。

标签： arrays algorithm probability analysis

【解决方案1】：

正如已经提到的，Monte Carlo method 是快速（在实现意义上）近似的简单解决方案。
有一种方法可以使用动态规划计算精确概率

这里我们假设数组中的所有元素都是不同的并且A[i] < A[j]。

让我们用P(i, j, k, n) 表示在选择 n 元素数组中的第 k 个元素时比较第 i 个和第 j 个元素的概率。

那么r 是1..n 中的任何一个的概率相等，这个概率是1/n。另请注意，所有这些事件都是不相交的，它们的联合构成了所有事件空间。

让我们仔细看看r 的每个可能值。

如果r = 1..i-1 则i 和j 属于同一部分，如果k > r 和0 否则它们的比较概率为P(i-r, j-r, k-r, n-r)。

如果r = i，概率为1。

如果r = i+1..j-1，概率为0。

如果r = j，概率为1，如果r = j+1..n，概率为P(i, j, k, r-1)，如果k < r，否则0。

所以完整的循环公式是P(i, j, k, n) = 1/n * (2 + Sum for r = 1..min(r, i)-1 P(i-r, j-r, k-r, n-r) + sum for r = max(j, k)+1..n P(i, j, k, r-1))

最后对于n = 2（因为i和j不同）唯一可能的Ps是P(1, 2, 1, 2)和P(1, 2, 2, 2)并且两者都相等1（不管r是相等的会有一个比较）

时间复杂度为O(n^5)，空间复杂度为O(n^4)。还可以优化计算并使时间复杂度O(n^4)。此外，我们只考虑A[i] < A[j] 和i,j,k <= n 乘法常数为 1/8。因此，可以在几分钟内计算出n 的任何值，最高可达 100，使用所描述的直接算法或最高 300 的优化算法。

【讨论】：

似乎我们能从这个解决方案中得到的最好的结果是重复出现，如果没有特定的值，我们就无法明确解决，因为这个问题特别要求 exact 解决方案，你认为它是在要求递归关系吗？
很大程度上取决于上下文。如果是数学问题，那么他们可能希望您找到明确的公式。如果更多的是关于编程，那么这个算法允许找到该概率的精确值。
这是一个计算机科学问题，所以我假设重复一次就足够了。我总是可以把它扔给 Mathematica 看看它是否能找到解决递归的方法。
顺便说一句，你的剧透中没有任何东西是我在试图解决这个问题的过程中记下的，所以你可以随时拿起剧透。跨度>
再看问题陈述，它告诉我“正确答案是 i、j 和 k 的简单函数”......这让我相信这种重复是假设的有待解决，但我看不到一个简单的方法 - 甚至将其分解为子案例。

【解决方案2】：

请注意，只有当其中一个位置是枢轴时才会比较两个位置。因此，查看这一点的最佳方法是查看所选枢轴的顺序。

假设第 k 个最小的元素在 i 和 j 之间。那么 i 和 j 不被比较当且仅当它们之间的一个元素在 i 或 j 之前被选为枢轴。这种情况发生的概率是多少？

现在假设第 k 个最小的元素在 j 之后。当且仅当 i+1 和 k（不包括 j）之间的元素在 i 或 j 之前被选择为枢轴时，不比较 i 和 j。这种情况发生的概率是多少？

【讨论】：