随机快速排序：两个元素比较的概率？答案

【问题标题】：randomized quicksort: probability of two elements comparison?随机快速排序：两个元素比较的概率？
【发布时间】：2010-05-01 16:42:10
【问题描述】：

我正在阅读 M.Mitzenmacher 和 E.Upfal 的“Probability and Computing”。我无法理解如何计算两个元素的比较概率。

输入： 排序的数字列表 (y1,y2,...,yN)。我们正在寻找枢轴元素（随机）。问题：两个元素 yi 和 yj (j>i) 被比较的概率是多少？

答案（来自书本）： yi 和 yj 将被比较，如果 yi 或 yj 将被选为从序列的第一次抽签中的枢轴 (yi,yi+1,...,yj- 1,yj)。所以概率是：2/(j-i+1)。

对我来说问题是最初的主张：例如，从整个列表的第一次抽签中选择 yi 将导致与 yj 进行比较（反之亦然），概率为 2/n。

因此，“反向”声明是正确的——在 yi 或 yj 之前不能选择 (yi+1,...,yj-1) 元素，但“池”大小不固定 (在第一次绘制时它肯定是 N，但在第二次绘制时它更小）。

有人能解释一下作者是如何得出如此简单的结论的吗？

Edit1：一些好心人完善了我的帖子，谢谢 :-)。

Edit2：列表最初是排序的。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

快速排序通过将每个元素与枢轴进行比较来工作：大于枢轴的那些放在枢轴的右侧，而不大的放在左侧（或者相反，如果您想要降序排序，它不会'没关系）。

在每一步，枢轴都是从序列(yi, yi+1, ..., yj) 中选择的。这个序列有多少个元素？ j - i + 1（我想你打错字了，不可能是y - i + 1）。

所以从这个列表中选择两个特定元素之一的概率显然是2 / (j - i + 1)。

对我来说问题是初始声明：例如，从整个列表的第一次抽签中选择 yi 将导致与 yj 进行比较（反之亦然），概率为 2/n。

选择yi 只会将其与其他j - i 元素进行比较。你从哪里得到n？请记住，您的列表仅从 yi 到 yj！

编辑：

再次阅读这个问题，我确实觉得它有点模棱两可。正如你所说，在递归的第一步比较两个元素的概率确实是2 / n，因为i 和j 是1 和n。 在未知的递归步骤比较两个元素的概率是我上面解释的。

【讨论】：

感谢您的评论，我更正了错字并在列表中添加了信息——它最初是排序的。无论如何，正如我所看到的（在您的编辑中），您还发现了列表大小的问题，但是最终的结论是不正确的。你询问元素 yi 和 yj，所以你甚至不能说在任何进一步的步骤中会有这样的序列 yi..yj（例如，如果你选择 yi+1 作为你的第一个枢轴，就不会有）。
进一步的步骤并不重要。在每一步，选定的枢轴都会到达其最终位置，因此它将不会在任何进一步的步骤中发挥作用。
假设 i>2。在第一步中，您在 2nd -- 2 中选择了 1。现在，在第 3 步中拾取 i 或 j 的概率是 2/(N-3+1)，而不是 2/(j-i+1)（如你在编辑的最后一句话中写道）。更重要的是——这只是概率。拿起那些元素，而不是概率。比较它们，因为第三步的其他场景也会导致比较它们。每一步都决定了概率，所以它们很重要。
我的意思是，如果您在当前递归步骤中选择正确的枢轴，那么进一步的步骤并不重要。我觉得这个问题要求在一个给定的递归步骤中选择正确的枢轴（yi 或yj）的概率，一个对应于序列yi, yi+1, ..., yj。否则，你是对的，这个问题要困难得多。这确实是一个模棱两可的问题。

【解决方案2】：

作者给出的答案是正确的，尽管我仍然不明白他们是如何轻松快速地得出结论的。

用 L=j-i+1 表示。 j 和 i 的实际值在这里无关紧要，重要的是 L。我们也用 P(N,L) 表示从大小为 N 的有序数字序列中比较 yi 和 yj 元素的概率。

事实：

这个和看起来很难看，但经过两次测试后，似乎 P(N,L) 可能等于 2/L。让我们来看看：

P(N,L=2) = 1 = 2/2 = 2/L
假设 P(N,L) = 2/L
P(N+1,L) = 2/(N+1) + 1/(N+1) * ( P(N,L) + ... P(L,L) ) = 2/( N+1) + (N-L+1)*1/(N+1)*2/L = 2/L

由于 L=j-i+1，我们得到 2/(j-i+1)。

【讨论】：