MergeSort 中最佳情况的关键比较数

Question

我真的很困惑如何计算 MergeSort 中最佳情况的键比较次数。假设数组输入大小为a，其中a=2^k

Answer 1

由于数组大小是 2 的幂，所有合并阶段都涉及大小相等的切片，所有 2 的幂。一对长度为 p 的切片的最小比较次数为 p，例如如果数组已经排序。

因此不同2的幂的比较总数：

• a=1 -> 0 比较
• a=2 -> 1 个比较
• a=4 -> 2*1+2 = 4 次比较
• a=8 -> 2*4+4 = 12 次比较
• a=16 -> 2*12+8 = 32 次比较
• a=32 -> 2*32+16 = 80 次比较
• a=2^k -> k * 2^k-1 个比较
• a=2^k+1 -> 2 * k * 2^k-1 + 2^k -> (k+1) * 2^k 次比较 (QED)

在最佳情况下，归并排序将对长度为 2^k 的数组执行 k * 2^k-1 次比较。