给定函数的反函数

Question

我有一个带有两个输入 x 和 y 的函数，它根据某些条件（依赖于 x 和 y 的值）返回 z。类似于下面的伪代码。

f(x, y)
    if x < a && y < b
        return z=x+y;
    else if x >= a && x < c && y >= b && y < d
        return z=x-y;
    else x >= c && y >= d
        return z=x*y;

现在我想编写一个几乎充当f 的反函数的函数（我们称之为g）。伪代码应该类似于以下内容：

g(z)
    return x1, x2, y1 and y2; //x's, y's are corresponding boundaries for given z

假设f 非常简单，只基于几个条件，返回值就像一些算术语句一样简单（与上面提供的完全相似）。你怎么写g？您是否只需存储来自f 的边界和相应的返回值，然后使用给定的z 在它们之间遍历以找到适当的边界？我想看看其他人是如何破解这个的。请注意，f 也是您自己编写的，您对此一无所知。

注意：假设返回值在任何时候都是不同的，并且在任何情况下都没有任何重叠

Answer 1

您将从查看每个条件开始。如果 x 和 y 要满足条件的最低限度，它们的值是多少。例如，如果 x 和 y 分别仅略小于 a 和 b，那么方程 x+y 是否能够满足 z。即 x+y 将大于 z。如果不是，则不可能排除任何小于当前 x 和 y 的数字。然后你可以进入下一个条件，依此类推。如果 x 和 y 的值可以满足条件，那么您将从下边界开始并迭代该范围内的可能值，或者使用代数来解决它。

Answer 2

1. 你的功能

   double f(double x,double y) // z=f(x,y)
    {
          if ((x<a)&&(y<b))                return x+y;
    else if ((x>=a)&&(x<c)&&(y>=b)&&(y<d)) return x-y;
    else if ((x>=c)&&(y>=d))               return x*y;
                                           return ???;
    }
   

   如果你像我一样缺乏想象力，那么为了更好地理解绘制地图

   现在更明显的是这是一对多的映射

   z=x+y -> y=z-x , x=z-y
   z=x-y -> y=x-z , x=z+y
   z=x*y -> y=z/x , x=z/y
   

   x,y 的这 3 个定义间隔也可以给出相同的 z 值

2. 反函数

   返回x,y 的区间不是一个好主意，要么将g() 设为2D 函数，如x=g2d(y,z) 或y=g2d(x,z)。

   或者您返回所有有效x,y 对的列表而不是间隔！这也可以通过您的 2D g() 函数完成

   2D示例g函数：

   double g2d(double x,double z) // y=g(x,z)
    {
         if (x<a) return z-x;
    else if (x<c) return x-z;
    else          return z/x;
    }
   

   您还应该在返回之前添加计算的y 范围检查以获取有效的解决方案，但我对此太懒了。

   1D示例g函数：

   void g(double *x,double *y,int &n,double z) // x[n],y[n]=g(z)   ... x,y should be allocated big enough or use some list/vector template
    {
    double xx;
    const double min =-1e+3;
    const double max =+1e+3;
    const double step=+1e-3;
    n=0; // reset found solution count
    for (xx=min;xx<=max;xx+=step) // go through valid x axis
     {      
     x[n]=xx;
     y[n]=g2d(xx,z);
     // here add check if solution valid and continue if not
     // also can add check for max n to avoid overrun of arrays x[],y[]
     n++; // add new valid solution to list
     }
    }
   

[注释]

所有代码都是 C++