使用逆累积分布生成 Pareto 观测值

Question

我目前正在处理一项任务，在该任务中，您必须使用帕累托分布的逆累积函数生成帕累托观测值。我以前从未设法真正反转统计函数，而且我似乎无法正确地做到这一点。我理解公式 X=F^1(U)，其中 X 是帕累托分布随机变量，U 是标准均匀随机变量，对于生成观察很重要，但我不知道如何计算反函数。

我希望对如何解决这个问题有所了解。

Answer 1

• 写下 F(X) 的公式。
• 在公式右侧写上“= U”。
• 使用代数将方程左侧的单个值 X 分离出来，即求解 X 作为 U 的函数。

得到的方程是反演公式。现在通过插入几个 U 值进行“健全性检查”：0 获得最小值，1 获得最大值，0.5 获得中值。

示例：A Uniform(a, b) 对于 a ≤ x ≤ b 具有 CDF F(x) = (x - a) / (b - a)，并且具有最小值 a、最大值 b 和中值 (a + b) / 2。

• F(X) = (X - a) / (b - a)
• (X - a) / (b - a) = U
• X - a = (b - a) U
• X = a + (b - a) U

测试用例：

• U = 0 => a + (b - a) 0 = a
• U = 1 => a + (b - a) 1 = a + b - a = b
• U = 0.5 => a + (b - a) / 2 = (2a + b - a) / 2 = (a + b) / 2

实现（在 Ruby 中，因为您没有指定语言）：

def uniform(a, b)
  return a + (b - a) * rand        # rand with no arguments returns a U(0,1)
end