numpy 将 2D 矩阵重塑为对称矩阵数组（3D 数组），无需循环

Question

假设我有一个如下形式的二维数组

D = [
 [A11,A21,A31,A22,A23,A33],
 [B11,B21,B31,B22,B23,B33],
 [C11,C21,C31,C22,C23,C33]
]

其中每个D[i] 是一个对称矩阵的表示。

对称矩阵可以重新整形为

[
 [[A11,A21,A31
   A21,A22,A23
   A31,A23,A33]],

 [[B11,B21,B31
   B21,B22,B23
   B31,B23,B33]],

 [[C11,C21,C31
   C21,C22,C23
   C31,C23,C33]]
]

所以D[i] 是第 i 个对称矩阵（带对角线）下三角部分的值列表

执行迭代循环很容易，从 result = np.zeros(3,3,3) 开始，然后我们填充条目。

请注意，我不需要计算相关性等，因为已经给出了协方差矩阵的值。我只是想用一定的约束（对称和正确的索引）将 2D 重塑为 3D

我想知道是否有更有效的方法不使用循环？谢谢

Answer 1

您可以通过 3 个步骤来实现这一点（为简单起见，从一个对称矩阵开始）：

假设有一个向量 d0 = D[0]

d0 = D[0]  # [A11,A21,A31,A22,A23,A33]

首先创建一个空矩阵

r = np.zeros([3, 3])  # note: any size will do

将d0赋给矩阵的上半部分

upper_tri = ~np.tri(3, 3, -1, dtype=bool)
# [[ True,  True,  True],
#  [False,  True,  True],
#  [False, False,  True]]

r[upper_tri] = d0
# [[A11,A21,A31],
#  [ 0 ,A22,A23],
#  [ 0 , 0 ,A33]]

然后转置结果并将其分配给自身，但应用仅匹配下三角形的掩码：

lower_tri = ~upper_tri
r[lower_tri] = r.T[lower_tri]
# [[A11,A21,A31
#   A21,A22,A23
#   A31,A23,A33]]

---

您可以使用广播来扩展这种方法，但这很棘手。您需要转置每个输入和输出矩阵。这是因为适用于标量的方法（例如 A21 在这里是单个标量）也适用于向量

d0 = D.T  # [ [A11, B11, C11], [A21, B21, C21], [A31, B31, C31]... ]

N = 3  # as batch size to avoid confusion
r = np.zeros([3, 3, N])

upper_tri = ~np.tri(3, 3, -1, dtype=bool)  # same as before
r[upper_tri] = d0

lower_tri = ~upper_tri
r[lower_tri] = r.transpose([1, 0, 2])[lower_tri]

r = r.transpose([2, 0, 1])

Answer 2

如果我理解正确的话，我其实前段时间也遇到过类似的问题。我看到了你的问题，并决定再试一次，但有一个通用的解决方案（适用于 3 或更大的尺寸）。我找不到没有任何循环的方法（对不起），但它非常简单，可以定义为以数组和维度为参数的函数

解决方案 这是我用来从一个数组中生成您所要求的类型的矩阵的代码（请注意，我刚刚删除了字母并使用整数进行演示）。它仍然使用嵌套循环。

import numpy as np

D = [
 [11,21,31,22,23,33],
 [11,21,31,22,23,33],
 [11,21,31,22,23,33]
]

d = 3 # dimension
N = 3 # number of sets (A, B, C) or len(D)

# index offset matrix to index from D
offsets = np.zeros((d, d), dtype=int)

# adjustments to offset matrix at each i,j index
adj = np.arange(d-2, 0, -1)
for i in range(1, d-1):
    offsets[i:, i:] += adj[i-1]

cov = np.empty((N, d, d), dtype=int)

# iterate over A, B, C
for n in range(N):
    for i in range(d):
        for j in range(d):
            cov[n, i, j] = D[n][i+j+offsets[i, j]]

print(cov)

打印出来

[[[11 21 31]
  [21 22 23]
  [31 23 33]]

 [[11 21 31]
  [21 22 23]
  [31 23 33]]

 [[11 21 31]
  [21 22 23]
  [31 23 33]]]

如果你有更大的集合：

D = [
 [11, 21, 31, 41, 51, 61, 22, 23, 24, 25, 26, 33, 34, 35, 36, 44, 45, 46, 55, 56, 66],
 [11, 21, 31, 41, 51, 61, 22, 23, 24, 25, 26, 33, 34, 35, 36, 44, 45, 46, 55, 56, 66],
 [11, 21, 31, 41, 51, 61, 22, 23, 24, 25, 26, 33, 34, 35, 36, 44, 45, 46, 55, 56, 66]
]

d = 6
N = 3
offsets = np.zeros((d, d), dtype=int)
adj = np.arange(d-2, 0, -1)
for i in range(1, d-1):
    offsets[i:, i:] += adj[i-1]

cov = np.empty((N, d, d), dtype=int)
for n in range(N):
    for i in range(d):
        for j in range(d):
            cov[n, i, j] = D[n][i+j+offsets[i, j]]

print(cov)

你得到：

[[[11 21 31 41 51 61]
  [21 22 23 24 25 26]
  [31 23 33 34 35 36]
  [41 24 34 44 45 46]
  [51 25 35 45 55 56]
  [61 26 36 46 56 66]]

 [[11 21 31 41 51 61]
  [21 22 23 24 25 26]
  [31 23 33 34 35 36]
  [41 24 34 44 45 46]
  [51 25 35 45 55 56]
  [61 26 36 46 56 66]]

 [[11 21 31 41 51 61]
  [21 22 23 24 25 26]
  [31 23 33 34 35 36]
  [41 24 34 44 45 46]
  [51 25 35 45 55 56]
  [61 26 36 46 56 66]]]

注意事项 这要求您的输入数组 D 遵循模式

A11, A12, A13, A14, A22, A23, A24, A33, A34, A44

就像您的 3 维问题一样。

我通过将 D 中的索引映射到所需的矩阵上找到了这个解决方案，并发现它们是矩阵索引加上以下子矩阵的一些偏移：

# [[i+j,  i+j,   i+j,   i+j,   i+j ],
#  [i+j, i+j+3, i+j+3, i+j+3, i+j+3],
#  [i+j, i+j+3, i+j+5, i+j+5, i+j+5],
#  [i+j, i+j+3, i+j+5, i+j+6, i+j+6],
#  [i+j, i+j+3, i+j+5, i+j+6, i+j+6]]

这些偏移量从 0 开始，然后随着 i,j 的增加，它们增加 3，然后是 2，然后是 1。这种模式随着更高的维度缩放。

答案很长，但我希望对您有所帮助，我以前肯定见过并遇到过这个问题。

干杯