算法 - 在 O(n) 中计算排序数组中的所有相等数字对？

Question

一个让我猜测的问题如下：

假设我们有一个带有数字 {1,1,1,1,2,2,4,4,4} 的排序数组。

现在，鉴于我们可以清楚地看到我们有六对 1、一对 2 和三对 4（10 对）。你将如何构建一个在 O(n) 中找到这些对的算法？

我有一个算法可以计算数组中的对，这样做是这样的：

Arrays.sort(array);
int counter = 0; 
for(int i = 0; i<array.length; i++) {
     for(int j = i+1; j<array.length; j++) {
          if(j!=i && array[j] == array[i]) {
	counter++;
	}
      }
}
return counter; 

但这在 O(N^2) 中运行，我猜（我是算法的新手）有一个更好的解决方案可以仅使用一个 for 循环或多个 while 循环来获得相同的结果？

我想听听你的想法！

Answer 1

你可以在O(N):

int pairs = 0; 
int times = 1;
for (int i = 1; i < array.length; ++i) {
    if (array[i] == array[i-1]) {
        ++times;
    } else {
        pairs += times*(times-1) / 2;
        times = 1;
    }                   
}
pairs += times*(times-1) / 2;
return pairs;       

可运行：https://ideone.com/mu65ie

对于每个不同的数字，计算其出现次数times。不同对的数量等于选择的数量C(times, 2) = times*(times-1) / 2。

Answer 2

好的，这也是我的解决方案：

 int i = 0;
 int pairs = 0;

 while (i < array.length - 1) {
    if(array[i] == array[i + 1]) {
        pairs += 1;
        i += 2;
    } else {
        i++;
    }
 }

当找到一对时，索引会增加 2，这会使遍历速度更快一些。但是复杂度还是O(n)。

当然你在数组是sorted之后运行这个。

Answer 3

秘诀是停止重复。缓存显示的数据。您可以使用缓存将其减少为 O(nlogn) 问题。

Pairs 的措辞非常含糊，因此以后会通过更多示例来阐明您不知道名称以找到答案的事物。您可以使用组合数学将问题简化为 O(n)。

wikipedia article 读起来有点迟钝，但您要查找的等式在顶部附近：

n! / (k! * (n - k)!)

其中! 表示阶乘数，n 表示要组合的项目数量（4 个 1），k 表示每个组合的项目数量（一对 2）。所以替换这些值：

4! = 24
2! = 2
(4-2)! = 2
4!/(2!2!) = 24/4 = 6

使用这个等式可以将其简化为 O(n)。由于使用了阶乘并对数据集进行了排序，因此您可以通过缓存阶乘调用的结果以供将来调用，从而进一步提高性能。几乎每次查找的阶乘函数的排序输入都会有缓存命中！

如果您使用的是 python 3，则可能不需要缓存，因为它使用比 python 2 更有效的算法来计算阶乘。缓存会减少冗余，但是对于非常大的值可能会产生良好的结果。

缓存（memoization）示例：

import math

class Cache(object):
    memos = dict()

    def factorial(self, n):
         if not n in self.memos:
             self.memos[n] = math.factorial(n)
         return self.memos[n]

Answer 4

怎么样：

    Arrays.sort(array);
    int counter = 0; 
    for(int i = 1; i<array.length; i++) {
        if(array[i] == array[i-1]) {
            counter++;
            ++i;
        }
    }
    return counter;

Answer 5

这是我的做法。希望它会帮助某人:)

static int foo(int[] ar) {      
    int count = 0;
    Arrays.sort(ar);
    for(int i = 0; i<ar.length-1;i++)
    {
            if(ar[i] == ar[i+1])
            {
                count ++;
                i++;
            }
    }
    return count;

}