列表的所有可能子列表

Question

我需要编写一个函数来生成一个列表，该列表包含列表的所有可能子列表的列表。所以类型必须是：

partitions :: [a] -> [[[a]]]

它应该给出：

分区 [1..4] = [[[1],[2],[3],[4]], [[1,2],[3],[4]], [[1],[2,3],[4]], [[1,2,3],[4]], [[1],[2],[3,4]], [[1, 2],[3,4]], [[1],[2,3,4]], [[1,2,3,4]]]

我认为列表理解是最好的方法。到目前为止，我有：

partitions :: [a]  -> [[[a]]]
partitions (x:xs) = foldr insert [[]] (x:xs)
   where insert ys zs = ys:x:zs

如您所料，这会引发类型错误，但我不知道如何修复它。我觉得我遗漏了一些明显的东西，任何帮助将不胜感激。

Answer 1

我将从直接递归开始。分解一下，较长列表中的第一个元素有什么可能性？

1. 它可以是其中一个分区列表的唯一元素。
2. 它可以是具有多个元素的分区列表的一部分。

从您的示例来看，您似乎希望保持原始元素有序，因此每个分区的成员只能是连续的子列表，这使得它更容易一些。

所以我们可以开始了

partitions :: [a] -> [[[a]]]
partitions [] = [[]]    -- only one partition of an empty list, an empty partition
partitions (x:xs) = [[x]:part | part <- partitions xs] ++ [(x:ys):yss | (ys:yss) <- partitions xs]

产生

*Partitions> partitions [1,2,3,4]
[[[1],[2],[3],[4]],[[1],[2],[3,4]],[[1],[2,3],[4]],[[1],[2,3,4]],[[1,2],[3],[4]],[[1,2],[3,4]],[[1,2,3],[4]],[[1,2,3,4]]]

不是所需的顺序。如果这很重要，我们必须重写。期望的顺序直接连续列出第一个元素的两个选项，所以我们可以写它

partitions (x:xs) = partitions xs >>= \zs -> case zs of
                                               [] -> [[[x]]]
                                               (ys:yss) -> [[x]:ys:yss, (x:ys):yss]

我们需要明确区分空分区（在递归结束时）和非空分区的情况，在上面是通过绑定到模式(ys:yss) 隐式完成的。这会产生所需的顺序

*Partitions> partitions [1,2,3,4]
[[[1],[2],[3],[4]],[[1,2],[3],[4]],[[1],[2,3],[4]],[[1,2,3],[4]],[[1],[2],[3,4]],[[1,2],[3,4]],[[1],[2,3,4]],[[1,2,3,4]]]

使用列表 monad 的绑定 (>>=) 是 flip concatMap 的事实，版本

partitions (x:xs) = concatMap insert (partitions xs)
  where
    insert [] = [[[x]]]
    insert (ys:yss) = [[x]:ys:yss, (x:ys):yss]

可能更具可读性。