查找总和等于“k”的子数组的数量

Question

我们会得到一个整数数组和一个值k。我们需要找到总和等于k 的子数组的总数。

我在网上（在 Leetcode 上）找到了一些有趣的代码，如下：

public class Solution {
    public int subarraySum(int[] nums, int k) {
        int sum = 0, result = 0;
        Map<Integer, Integer> preSum = new HashMap<>();
        preSum.put(0, 1);

        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            sum += nums[i];
            if (preSum.containsKey(sum - k)) {
                result += preSum.get(sum - k);
            }
            preSum.put(sum, preSum.getOrDefault(sum, 0) + 1);
        }

        return result;
    }
}

为了理解它，我浏览了一些具体的例子，比如[1,1,1,1,1] 和k=3 和[1,2,3,0,3,2,6] 和k=6。虽然代码在这两种情况下都能完美运行，但我没有遵循它实际计算输出的方式。

我有两个具体的困惑：

1) 为什么代码会不断地在数组中添加值，而不会将其清零？例如[1,1,1,1,1] 和k=3，一旦sum=3，我们不需要将sum 重置为零吗？不重置sum 不会影响查找后面的子数组吗？

2) 当我们找到 sum k 的子数组时，我们不应该简单地做 result++ 吗？为什么我们要添加preSum.get(sum-k)？

Answer 1

让我们先处理您的第一个困惑点：

代码不断对数组求和并且不重置sum 的原因是因为我们将总和保存在preSum（以前的总和）中。然后，任何时候我们到达sum-k 是前一个总和的点（比如在索引i），我们知道总和之间 索引i 和我们当前的索引正好是@ 987654329@.

例如，在下图中i=2，我们当前的索引等于4，我们可以看到，因为9，我们当前索引的总和，减去3，索引的总和i，是6，索引2和4（含）之间的总和是6。

考虑这一点的另一种方法是看到从数组中丢弃[1,2]（在我们当前的索引4）给我们一个sum 6的子数组，原因与上述类似（参见图片了解详细信息)。

使用这种思维方法，我们可以说我们想从数组的前面丢弃，直到剩下一个 sum k 的子数组。我们可以通过说，对于每个索引，“只丢弃 1，然后丢弃 1+2，然后丢弃 1+2+3，等等”（这些数字来自我们的示例），直到我们找到 sum k 的子数组（在我们的示例中为k=6）。

这提供了一个完全有效的解决方案，但请注意，我们将在数组的每个索引处执行此操作，从而一遍又一遍地求和相同的数字。节省计算的一种方法是保存这些总和以备后用。更好的是，我们已经将这些相同的数字相加得到我们当前的sum，所以我们可以随时保存这个总数。

要找到一个子数组，我们可以查看我们保存的总和，减去它们并测试我们剩下的是否是k。必须减去每个保存的总和有点烦人，所以我们可以使用commutativity of subtraction 来查看如果sum-x=k 为真，sum-k=x 也为真。这样我们就可以看到x 是否是一个保存的和，如果是，就知道我们找到了一个大小为k 的子数组。哈希映射使这种查找变得高效。

现在你的第二个困惑点：

大多数时候你是对的，在找到合适的子数组后，我们可以做result++。 preSum 中的值几乎总是1，因此result+=preSum.get(sum-k) 将等同于result+=1 或result++。

唯一不是这样的情况是，当 preSum.put 被调用之前已经到达的 sum 时。我们如何才能回到我们已经拥有的sum？唯一的方法是使用负数，抵消以前的数字，或者使用零，这根本不影响总和。

基本上，当子数组的和等于 0 时，我们会回到之前的 sum。此类子数组的两个示例是 [2,-2] 或普通的 [0]。有了这样一个子数组，当我们找到一个后来的、与 sum k 相邻的子数组时，我们需要将多个 1 添加到 result，因为我们发现了多个新子数组，其中一个具有零和子数组 ( sum=k+0) 和一个没有它的 (sum=k)。

这也是preSum.put 中出现+1 的原因。每次我们再次到达相同的sum 时，我们都会找到另一个 零和子数组。对于两个零和子数组，找到一个带有sum=k 的新相邻子数组实际上会给出 3 个子数组：新子数组 (sum=k)、新子数组加上第一个零和 (sum=k+0)，以及两者都包含的原始子数组零和 (sum=k+0+0)。这个逻辑也适用于更多数量的零和子数组。