关于大哦符号和证明或反证

Question

所以我完全迷失了大哦符号。

在我的作业中，我应该使用正式定义来证明或反驳以下内容。

3n³ - 7n² + 100n - 36 is in O(n³)

和

n²/log(n) + 3n is in O(n²)

谁能帮我解决这些问题并告诉我如何去证明或反证。

Answer 1

definition of Big-O 是

f(n) ∈ O(g(n)) ⇔ lim sup<sub>n → ∞</sub> | f(n)/g(n) | &lt; ∞

由于您的f(n) 和g(n) 是多项式，所以lim sup 和lim 是相同的。所以你必须证明：

1. lim<sub>n → ∞</sub> |(3n³ - 7n² + 100n - 36) / n³| &lt; ∞ lim_{n → ∞} |(3n³ - 7n² + 100n - 36) / n³| = lim_{n → ∞} |n³(3 - 7/n + 100/n² - 36/n³) / n³| = lim_{n → ∞} |3 - 7/n + 100/n² - 36/n³| = 3
2. lim sup<sub>n → ∞</sub> |(n²/log(n) + 3n) / n²| &lt; ∞ lim sup_{n → ∞} |(n²/log(n) + 3n) / n²| = lim sup_{n → ∞} |n²(1/log(n) + 3/n) / n²| = lim sup_{n → ∞} |1/log(n) + 3/n| = 0 在这里你还可以看到n²/log(n) + 3n也在o(n²)中。