除前 K 和后 K 元素外的已排序数组答案

【问题标题】：Sorted array except for first K and last K elements除前 K 和后 K 元素外的已排序数组
【发布时间】：2019-01-07 11:25:24
【问题描述】：

已知大小为 n 的数组 A 已排序，但前 k 个元素和后 k 个元素除外，其中 k 是常数。以下哪种算法最适合对数组进行排序？

 A) Quicksort
 B) Bubble sort
 C) Selection Sort
 D) Insertion Sort

给出的答案是 D。

无法理解这是如何工作的，如果还给出了合并排序，答案会是什么？

【问题讨论】：

我想有一些假设 k 明显小于 n？否则你可以创建k = n/2 并且整个数组将是未排序的......K 和 k 也是一样的吗？
是的 K 和 k 在这里是一样的。现已更正。
这就是它令人困惑的原因......我也有同样的疑问。
也许应该有一些限制才能使插入排序成为正确答案。
关于您的“奖励”问题：是的，我认为合并排序会是最快的，O(2klogk + n) (=O(n) for const.k ) 用于对两个未排序的段进行合并排序，然后合并三个部分。

【解决方案1】：

让我们看看算法的复杂性：

A) 快速排序：会采用更坏的情况 O(n²) 平均 O(n log n)
B) 冒泡排序：需要 O(n²)
C) 选择排序：需要 O(n²)
D) 插入排序：如果 k 是常数 = O(n)

，将采用 O(k* n)

所以D的表现最好。（对于每个 k 个元素：O(log n) 找到要插入的位置 + O(n) 插入）

但由于已知 Quicksort 具有较小的 konstant faktor 并且平均为 O(n log n)，因此“较大”的 k 值很可能更快。

额外：

E) 合并排序：需要 2 * O(k log k) + O(n)

总之，常数 k O(n) 因此基于与插入排序相同的复杂性。

但是如果你看它的 k 不是常数：
归并排序： O(k log k) + O(n)
插入排序： O(k* n)

所以插入排序会更快。

反对归并排序的论据：
一般来说，合并排序不是就地（插入排序是），因此您需要额外的空间或非常聪明的实现变体，以便设法在不增加复杂性的情况下就地完成。

【讨论】：

插入排序怎么会有O(k*logn)的时间复杂度？
@ashwani yadav：你说得对，我认为找到插入位置只需要 O(log n)。根据您的数据结构，ins 插入成本很高，
你的回答现在看起来很令人满意。
在我的系统上，Intel 3770K 3.5 ghz，Windows 7 Pro 64 位，Visual Studio Desktop Express 2015，快速排序仅比标准合并排序快 15%。在 64 位模式下，有 16 个寄存器，其中 8 个用作指向当前运行和运行结束的指针，4 路自底向上合并排序与快速排序花费的时间大致相同，但如前所述，它需要 O(n) 空间。如果快速排序包含在递归太深时放入堆排序的代码（介绍排序），它仅比标准的 2 路合并排序快 10%，（并且比 64 位模式下的 4 路合并排序慢）。
有一种比我之前链接的块合并排序更简单的就地合并排序，但它不稳定，速度较慢，而且它是递归和迭代的组合。第一季度和后半部分被排序（递归），然后合并到第二季度，将元素交换到第一季度进行合并，第一季度未排序。然后将第一个 1/8 排序并与最后一个 6/8 合并到第二个 1/8 中，使第一个 1/8 未排序。重复直到 2 个元素留在左侧，使用插入类型排序将这 2 个元素放置到位。我还没有找到这方面的在线示例。

【解决方案2】：

由于第一个 K 和最后一个 K 元素的数量是恒定的，因此计算它们的复杂度确实没有意义，因为它是恒定的。

比较以上所有给定的算法及其复杂性：

A) 快速排序：最坏情况 O(n²) 平均 O(n log n)

B) 冒泡排序：O(n²)

C) 选择排序：O(n²)

D) 插入排序：O(k* n) if k=constant = O(n)

如果反转计数是O(n)，那么插入排序的时间复杂度是O(n)。在最坏的情况下，可能有 n(n-1)/2 次反转。最坏的情况发生在数组以相反的顺序排序时。所以插入排序的最坏情况时间复杂度是O(n2).*

因此，快速排序通常是最好的，但 对于小型列表插入排序有一个优势：

对于较小的 n，插入排序更快，因为快速排序具有来自递归函数调用的额外开销。插入排序也是比快速排序更稳定，需要更少的内存。

【讨论】：