为什么这个布尔表达式的答案是正确的？

Question

在我的Be Prepared Comp Sci 教科书中，我遇到了这个问题：

假设x、y、z为整型变量，以下三个逻辑表达式中哪一个是等价的，即对x、y、z的所有可能取值都相等？

(x == y && x != z) || (x != y && x == z)
(x == y || x == z) && (x != y || x != z)
(x == y) != (x == z)

A. None of the three
B. I and II only
C. II and III only
D. I and III only
E. I, II, and III

我选择了“B”，但弄错了。我真的认为我需要帮助理解布尔逻辑。正确的答案说的是别的，但我不明白逻辑。正确答案如下：

表达式 III 是答案的关键：所有三个表达式都说明了这样一个事实，即 x == y 或 x == z 两个等式中恰好有一个为真。

表达式 I 声明第一个而不是第二个或第二个而不是第一个是正确的。
表达式 II 表明两者之一为真，而两者之一为假。
表达式 III 只是说明它们具有不同的值。

这三个都归结为同一件事。答案是E。

Answer 1

(x == y && x != z) || (x != y && x == z)

(x == y || x == z) && (x != y || x != z)

(x == y) != (x == z)

让我们分解一下。

(x == y && x != z) || (x != y && x == z)
x is equal to y and not z, or x is equal to z and not y

所以基本上，x is equal to one of [y|z], but y != z。

(x == y || x == z) && (x != y || x != z)
x is equal to y or x is equal to z, and x is not equal to y or x is not equal to z

这有点复杂。它几乎可以归结为x equals one of [y|z] but not the other 或x is equal to y and not z, or x is equal to z and not y，与第一个等式相同。

这是因为(x == y) 将使等式的前半部分为真，但因此x != y 在后半部分必须为假。因此，要保持等式的后半部分为真，x 必须不等于 z。您可以将此逻辑翻转为表示 x == z 但 x != y 如果您愿意。如上所述，这归结为x is equal to one of [y|z] but not the other。

(x == y) != (x == z)
The value of the expression x == y is the opposite of the value of the expression x == z.

这也有点复杂，但效果相同。如果 x 等于 y，要保持陈述为真，x 必须不等于 z。相反，如果 x not 等于 y，则 x 必须等于 z。因此，x is equal to one of [y|z] but not the other。

Answer 2

像在写一个句子一样大声读出这些值。

请注意，exclusive or 仅在一个为 true 时才返回 true，inclusive 意味着一个或两个值必须为 true 才能返回 true。

在英语陈述中，排他性/包含性“或”通常是隐含的。也就是说，人们使用“或”有两种不同的含义：

独家：我死了或者我没死。

包容性：我们去公园或吃冰淇淋吧。

这是对两者的随意解释，但我认为这就是您想要的。第一个陈述必须，如果一个是真的，另一个不是，所以它是一个异或。第二个是包容性的，因为去公园吃冰淇淋是可能的，但单独一个就足够了。

在我的示例中，OR = 包含或，XOR = 异或。

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(x == y && x != z) || (x != y && x == z)

(x 等于 y 但不等于 z) OR (x 不等于 y 但等于 z)

在任何一种情况下，当且仅当 x 等于 一个 其他变量时，该语句才返回 true。如果 x == y 和 x == z，那么两边的表达式都会失败。

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(x == y || x == z) && (x != y || x != z)

(x 等于 y OR x 等于 z) AND (x 不等于 y OR x 不等于 z)

只有当 x 等于两个值之一时，left 才计算为 true。仅当 x 不等于其中一个值时，右才计算为真。左右表达式都必须为真，整个事情才能返回真，因为它们之间有一个 AND。

因此，等效的简化语句是：x 等于两个值之一，x 不等于两个值之一。

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(x == y) != (x == z)

这个是最简单的。

(x 等于 y) 不等于 (x 等于 z)。

等价语句：（x等于y）异或（x等于z）

或者用简单的英语：either x 等于 y 或 x 等于 z。

注意在 or 语句的前面加上前缀是如何使它排他性的：

要么你死了，要么你没死。

这明确表示排他的“或”而不是包容的。