显示卷积与相关性以测试交换/关联属性的简单 1D 示例

Question

所以我知道卷积具有交换/关联属性，而相关性没有但从未真正写出一个简单的例子来测试这一点。 （方程形式的证明已经存在）

我只是在尝试这个简单的例子：

Image : [1 0 -1 0 1 0 1 1]
A kernel = [-1 0 1]
B kernel = [-1 0 1]

使用卷积，I * (A * B) 应该等于 (I * A) * B，但是当我尝试这样做时，它们并不相等......这让我很困惑。有人能帮忙吗？也许我在计算时犯了人为错误..但它们应该是平等的吧？ （假设边框被视为0）

并且使用相关性，我理解的相同不应该是相等的......他们没有，但是，我的卷积也没有那么大声笑（但它应该！）

任何帮助将不胜感激。

还有， A*B（卷积）将是 [0 -2 0] 对吗？ 和 AxB（互相关）将是 [0 2 0]？

Answer 1

卷积算子是可交换的。所以，I*(A*B) 应该等于 (I*A)*B 是对的。让我们首先将其转换为矩阵形式。内核 A 的卷积可以转换为与以下卷积矩阵 C 相乘：

C=
 [-1  0  1  0  0  0  0  0]
 [ 0 -1  0  1  0  0  0  0]
 [ 0  0 -1  0  1  0  0  0]
 [ 0  0  0 -1  0  1  0  0]
 [ 0  0  0  0 -1  0  1  0]
 [ 0  0  0  0  0 -1  0  1]
 [ 1  0  0  0  0  0 -1  0]
 [ 0  1  0  0  0  0  0 -1]

我们采用内核 [-1 0 1] 并在第一行用 5 个零填充它。然后，下面的每一行都是在前一行的右侧循环移位 1 个位置。 所以，如果我们想计算核 A 与 I 的卷积：

I = [1 0 -1 0 1 0 1 1]

我们只计算矩阵-向量乘法：

C*I^T

（其中 I^T 是转置向量）。

根据上述公式，我们得到：

I*(A*B) = (C*C)*I^T

计算C*C得到如下矩阵：

C^2=
 [ 1  0 -2  0  1  0  0  0]
 [ 0  1  0 -2  0  1  0  0]
 [ 0  0  1  0 -2  0  1  0]
 [ 0  0  0  1  0 -2  0  1]
 [ 1  0  0  0  1  0 -2  0]
 [ 0  1  0  0  0  1  0 -2]
 [-2  0  1  0  0  0  1  0]
 [ 0 -2  0  1  0  0  0  1]

和：

I*(A*B) = (C*C)*I^T = 
 [ 4]
 [ 0]
 [-2]
 [ 1]
 [ 0]
 [-2]
 [-2]
 [ 1]

而(I*A)*B 是矩阵公式C*(C*I^T)，它等于矩阵关联性的I*(A*B)=(C*C)*I^T。

您可以通过运行以下 numpy 代码来验证此结果：

import numpy as np
C = [[-1,0,1,0,0,0,0,0]]
for k in range(7):
    C.append(np.roll(C[0],k+1))
C = np.array(C)
#print(C)
I = np.transpose(np.array([[1,0,-1,0,1,0,1,1]]))

print(f'C=\n{C}\n')
print(f'C^2=\n{C@C}\n')

print(f'(C*C)*I=\n{(C@C)@I}\n')
print(f' C*(C*I)=\n{C@(C@I)}\n')

以上代码运行结果为：

C=
[[-1  0  1  0  0  0  0  0]
 [ 0 -1  0  1  0  0  0  0]
 [ 0  0 -1  0  1  0  0  0]
 [ 0  0  0 -1  0  1  0  0]
 [ 0  0  0  0 -1  0  1  0]
 [ 0  0  0  0  0 -1  0  1]
 [ 1  0  0  0  0  0 -1  0]
 [ 0  1  0  0  0  0  0 -1]]

C^2=
[[ 1  0 -2  0  1  0  0  0]
 [ 0  1  0 -2  0  1  0  0]
 [ 0  0  1  0 -2  0  1  0]
 [ 0  0  0  1  0 -2  0  1]
 [ 1  0  0  0  1  0 -2  0]
 [ 0  1  0  0  0  1  0 -2]
 [-2  0  1  0  0  0  1  0]
 [ 0 -2  0  1  0  0  0  1]]

(C*C)*I=
[[ 4]
 [ 0]
 [-2]
 [ 1]
 [ 0]
 [-2]
 [-2]
 [ 1]]

 C*(C*I)=
[[ 4]
 [ 0]
 [-2]
 [ 1]
 [ 0]
 [-2]
 [-2]
 [ 1]]

所以你可以看到得到了同样的结果。

请注意，A*B 不是 [0 -2 0] 而是 [1 0 -2 0 1]，因为您采用 A=[-1 0 1] （将其两侧的零填充到它的两侧各有 2 个零side) 并将其作为滑动窗口移动到 B=[-1 0 1] 所以首先你得到： [-1-1, 0-1 + -10, -11 + 00 + 1-1, 10 + 01, 11] = [1 0 -2 0 1]。 2 个宽度为 n 的内核的卷积结果将是长度为 2n-1。