e^x 没有 math.h

Question

我正在尝试在不使用 math.h 的情况下查找 e^x。当 x 大于或小于 ~±20 时，我的代码给出了错误的答案。我试图将所有双精度类型更改为长双精度类型，但它在输入时产生了一些垃圾。

我的代码是：

#include <stdio.h>

double fabs1(double x) {
    if(x >= 0){
        return x;
    } else {
        return x*(-1);
    }
}

double powerex(double x) {
    double a = 1.0, e = a;
    for (int n = 1; fabs1(a) > 0.001; ++n) {
        a = a * x / n;
        e += a;
    }
    return e;
}

int main(){
    freopen("input.txt", "r", stdin);
    freopen("output.txt", "w", stdout);
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i<n; i++) {
        double number;
        scanf("%lf", &number);
        double e = powerex(number);
        printf("%0.15g\n", e);
    }
    return 0;
}

输入：

8
0.0
1.0
-1.0
2.0
-2.0
100.0
-100.0
0.189376476361643

我的输出：

1
2.71825396825397
0.367857142857143
7.38899470899471
0.135379188712522
2.68811714181613e+043
-2.91375564689153e+025
1.20849374134639

右输出：

1
2.71828182845905
0.367879441171442
7.38905609893065
0.135335283236613
2.68811714181614e+43
3.72007597602084e-44
1.20849583696666

你可以看到我对 e^-100 的回答是绝对不正确的。为什么我的代码会输出这个？我可以做些什么来改进这个算法？

Answer 1

当x 为负数时，每个术语的符号交替出现。这意味着当使用正功率时，每个连续的总和的值会发生广泛的变化，而不是逐渐增加。这意味着连续项的精度损失对结果有很大影响。

要处理这个问题，请在开头检查x 的符号。如果是负数，切换x的符号进行计算，当你到达循环结束时，将结果反转。

此外，您可以使用以下违反直觉的条件来减少迭代次数：

e != e + a

从表面上看，这似乎总是正确的。但是，当a 的值超出e 值的精度时，条件变为假，在这种情况下，将a 添加到e 不会改变e 的值。

double powerex(double x) {
    double a = 1.0, e = a;
    int invert = x<0;
    x = fabs1(x);
    for (int n = 1; e != e + a ; ++n) {
        a = a * x / n;
        e += a;
    }
    return invert ? 1/e : e;
}

我们可以通过使用 0 而不是 a 初始化 e 并在循环底部而不是顶部计算下一项来进一步优化以删除一个循环迭代：

double powerex(double x) {
    double a = 1.0, e = 0;
    int invert = x<0;
    x = fabs1(x);
    for (int n = 1; e != e + a ; ++n) {
        e += a;
        a = a * x / n;
    }
    return invert ? 1/e : e;
}

Answer 2

对于大于 1 左右的 x 值，您可以考虑单独处理整数部分并通过平方计算 e 的幂。 （例如 e^9 = ((e²)²)².e 需要 4 次乘法）

的确，泰勒展开式的总称，x^n/n！仅在 n>x 之后才开始减少（每次乘以 x/k），因此求和至少需要 x 项。另一方面，e^n 最多可以计算 2lg(n) 次，这样更高效、更准确。

所以我会建议

• 取 x 的小数部分并使用 Taylor，
• 当整数部分为正时，乘以 e 的次方，
• 当整数部分为零时，您就完成了，
• 当整数部分为负数时，除以 e 的幂。

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您甚至可以通过考虑四分之一来节省更多时间：在最坏的情况下 (x=1)，Taylor 需要 18 个术语才能使最后一个可以忽略不计。如果您考虑从 x 中减去 1/4 的直接下倍数（并乘以预先计算的 e 的幂进行补偿），则项数将降至 12。

例如e^0.8 = e^(3/4+0.05) = 2.1170000166126747 。 e^0.05