用空间扩散因子对 Fitzhugh-Nagumo 模型进行数值求解

Question

我正在尝试为 Fitzhugh-Nagumo 模型提出一个 python 实现。

V_t = V_xx + V(V - a)(1 - V) - W + I
W_t = eps(beta*V - W)

使用eps = 0.05, a = 0.2, beta = 5, I = .1 的基本代码我可以对系统进行数值求解（没有V_xx），但我似乎无法弄清楚如何实现空间扩散。

def func_v(v, w):
    return v * (1 - v) * (v - .2) - w + .1


def func_w(v, w):
    return .05 * (5 * v - w)


def get_yn(t0, v, w, h, t):
    while t0 < t:
        w += h * func_w(v, w)
        v += h * func_v(v, w)
        t0 += h
    return v, w

我知道二阶导数的中心差分公式是

V_xx(x_i, t) = (V(x_i+1, t) - 2*V(x_i, t) + V(x_i-1, t)) / dx^2

但是我将如何实现x_i 的不同值（假设从x=0 到10）以使波沿x 轴传播？

结果应该给出一个像这样传播的波。

Answer 1

ODE 求解器（实际上是任何计算机程序）只能处理具有有限维状态的问题。此 PDE 中的状态是 x 的一对函数 v,w。在必要的一般情况下，这些不能在计算机中表示。因此，您需要使用有限近似值。在许多情况下被认为足够的第一个是简单函数表。然后使用有限差分公式计算x 导数。

x = np.linspace(0,L,N+1);
dx = x[1]-x[0];
v0,w0 = initial_functions(x);

def func_v(v, w):
    d2v = -2*v;
    d2v[0] += v[-1]+v[1];
    d2v[1:-1] += v[:-2] + v[2:]
    d2v[-1] += v[-2]+v[0];
    return d2v/dx**2 + v * (1 - v) * (v - .2) - w + .1

等等

对于概念验证，欧拉方法可能就足够了，但获得的值将是有问题的。使用更高阶的方法来获得可用的结果，而无需使用非常小的时间步。