为什么 cov 的求解（特征值，特征向量）对于 2d 和 3d 矩阵是不同的？答案

【问题标题】：why solve(eigenvalues, eigenvectors) of cov are different for 2d and 3d matrix?为什么 cov 的求解（特征值，特征向量）对于 2d 和 3d 矩阵是不同的？
【发布时间】：2017-08-27 10:22:45
【问题描述】：

我正在使用 R 命令学习 cov 的特征值、特征向量，我首先尝试使用 2d 矩阵，结果似乎正确：

x <- c(60, 35, 74, 30, 80)
y <- c(58, 40, 68, 40, 70)
m <- cbind(x, y)
cv <- cov(m)
eig <- eigen(cv)
det(cv %*% eig$vectors)   # 895.4
det(eig$values * diag(2) %*% eig$vectors)   # 895.4
cv %*% eig$vectors
#        [,1]       [,2]
# x -604.7476  0.6751113
# y -391.0320 -1.0440884
solve(eig$vectors, eig$values*diag(2)) 
#           [,1]       [,2]
# [1,] -604.7476 -0.6751113
# [2,]  391.0320 -1.0440884

然后，我尝试了 3d 矩阵：

x <- c(60, 35, 74, 30, 80)
y <- c(58, 40, 68, 40, 70)
z <- c(25, 75, 50, 60, 50)
m <- cbind(x, y, z)
cv <- cov(m)
eig <- eigen(cv)
det(cv %*% eig$vectors)   # -178424.4
det(eig$values * diag(3) %*% eig$vectors)   # -178424.4
cv %*% eig$vectors
#        [,1]      [,2]        [,3]
# x -639.0223  78.10751  0.56623319
# y -416.7254  43.54886 -0.89605389
# z  389.0068 174.95930 -0.02974941
solve(eig$vectors, eig$values*diag(3))
#           [,1]       [,2]        [,3]
# [1,] -639.0223  -95.61750  0.48169216
# [2,]  340.4124   43.54886  0.94419557
# [3,]  457.2808 -166.03865 -0.02974941

我的问题是：为什么“cv %% eig$vectors”和“solve(eig$vectors, eig$valuesdiag(n))”对二维矩阵产生相同的数字，但结果3d 矩阵的对角线数是否相同？

【问题讨论】：

标签： r

【解决方案1】：

cv %% eig$vectors 和 solve(eig$vectors, eig$valuesdiag(n)) 即使在 2d 情况下也不相等，如问题中的输出所示。

第一个等于eig$vectors %*% diag(eig$values)，第二个等于t(eig$vectors) %*% diag(eig$values)——注意转置。

要将cv 扩展为eig$vectors %*% diag(eig$values) %*% t(eig$vectors) 并注意eig$vectors 是正交的（因为cv 是对称的）所以它的转置等于它的逆。

注意 det(eig$vectors) 是 1（它必须是 1 或 -1，因为它是正交的）并且如果 A 和 B 是任意两个一致的方阵并且 v 是向量，则：

det(A %*% B) = det(A) * det(B)
det(t(A)) = det(A)
det(diag(v)) = prod(v)

所以我们有：

det(cv %*% eig$vectors)
= det(eig$vectors %*% diag(eig$values) %*% t(eig$vectors) %*% eig$vectors)
= det(eig$vectors) * det(diag(eig$values)) * det(t(eig$vectors)) * det(eig$vectors)
= 1 * prod(eig$values) * 1 * 1
= prod(eig$values)

det(eig$values * diag(2) %*% eig$vectors)
= det(diag(eig$values) %*% eig$vectors)
= det(diag(eig$values)) * det(eig$vectors)
= prod(eig$values) * 1  
= prod(eig$values)

【讨论】：