具有两个变量的多项式回归与 R

Question

我正在尝试用 R 做一些非常简单的事情，但我不确定我是否做得很好。我有一个包含三列 V1,V4,V5 的数据集，我想进行回归以获得以下两个变量多项式的系数 Ci,j：

sum[i=0->3] sum[j=0->i] Ci,j . (V4_k)^i . (V5_k)^(3-j)

所以我尝试使用函数 polym：

lm(V1 ~ polym(V4, V5, degree=3, raw = TRUE), data)

这给了我以下系数

[1]  1.048122e+04 -2.050453e+02  1.407736e+00 -3.309312e-03 -3.748650e+01  8.983050e-01 -4.308559e-03  1.834724e-01 -6.868446e-04  4.030224e-04

现在，如果我很好地理解了我们必须如何构建一个公式，我假设以下内容会给出相同的结果：

lm(v1 ~ V4 + V5 + I(V4 * V5) + I(V4^2 * V5) + I(V4^3 * V5) + I(V4^2 * V5^2) + I(V4^2*V5^3) + I(V4^3 * V5^2) + I(V4^3 * V5^3), data)

但我得到不同的系数：

[1]  3.130403e+03 -1.652007e+01 -1.592879e+02  3.984177e+00 -2.419069e-02  3.919910e-05  1.008657e-04  4.271893e-07 -5.305623e-07 -2.289836e-09

你能告诉我我做错了什么吗？用 R 实现这种回归的正确方法是什么？

Answer 1

polym(V4, V5) 调用并没有给你你想的那样。 （本例使用 poly 还是 polym 都没有关系）

我们来看一个例子：

v1 <- 1:10; v2 <- 1:10
poly(v1, v2, degree=3, raw=TRUE)
      1.0 2.0  3.0 0.1 1.1  2.1 0.2  1.2  0.3
 [1,]   1   1    1   1   1    1   1    1    1
 [2,]   2   4    8   2   4    8   4    8    8
 [3,]   3   9   27   3   9   27   9   27   27
 [4,]   4  16   64   4  16   64  16   64   64
 [5,]   5  25  125   5  25  125  25  125  125
 [6,]   6  36  216   6  36  216  36  216  216
 [7,]   7  49  343   7  49  343  49  343  343
 [8,]   8  64  512   8  64  512  64  512  512
 [9,]   9  81  729   9  81  729  81  729  729
[10,]  10 100 1000  10 100 1000 100 1000 1000

列标签告诉您作为参数提供的第一个和第二个向量的度数。前三个来自 V2^0，后三个在 V2 中是线性的，依此类推。

这是正确的，但您的第二个示例中包含 4 度项。如果您实际上是在寻找 4 度项，只需在方法调用中将度数更改为 4。

如果您在多项式回归方面需要更多帮助，this article，R-Bloggers 应该会有所帮助。它展示了如何使用 I() 和 poly 创建模型，尽管我认为它们只是单变量的。

Answer 2

附样本数据

dd<-data.frame(x1=rnorm(50),
   x2=rnorm(50))
dd<-transform(dd, z = 2*x1-.5*x1*x2 + 3*x2^2+x1^2 + rnorm(50))

我们看到了

lm(z~polym(x1,x2,degree=3, raw=T), dd)
lm(z~x1+I(x1^2)+I(x1^3)+I(x2)+I(x1*x2) + 
   I(x1^2*x2)+I(x2^2) + I(x1*x2^2) + I(x2^3), dd)

都是一样的。

请注意，在您的扩展中，您有类似的术语

I(V4^3 * V5) + I(V4^2 * V5^2)

它们都是 4 次项（指数之和为 4），因此它们不应出现在三次多项式中。所以这取决于你想要什么。通常，对于三次多项式，您有

sum[i=0->3] sum[j=0->3-i] Ci,j . (V4_k)^i . (V5_k)^j

所以i+j<=3 总是如此。我不清楚你到底想要什么类型的回归。