重量下所有对的最短路径

Question

设 G 是一个给定的无向简单图，边权重为 w。是否存在时间复杂度为 O((n+m)log^*(n+m)) 的算法，该算法计算存在从 u 到 v 的路径且总权重低于的节点对 (u,v) 的数量一些给定的常数 W?寻找算法或不存在此类算法的证据。

我尝试过 union find + DFS，但似乎最多只能使用 n+m 次 Find/Union 调用...我还尝试通过解决 APSP 来反证算法的存在时间复杂度低于下限，但无济于事。

Answer 1

成功显示不存在这样的算法：

通过矛盾假设存在这样的算法。

设 G 是给定的无向无权图，我们将按如下方式计算图的直径：

1. 为图表上的每条边分配权重 1。因此，加权直径等于未加权直径。
2. 我们发现图的直径以m为界
3. 使用算法执行二分搜索以查找图形的直径（检查每个值是否计数返回零）。

总的来说，我们在 O((n+m)log(n)log*(n+m)) 中找到 G 的直径。当前查找图形直径的最佳算法是 O(min(nm, ~n^2.4))。因此，至少，如果该算法成功，那么计算直径的时间复杂度将显着降低。不完全是一个证明，但对于我需要它的目的来说已经足够了。