Bellman-Ford：所有最短路径答案

【问题标题】：Bellman-Ford: all shortest pathsBellman-Ford：所有最短路径
【发布时间】：2012-07-06 21:24:08
【问题描述】：

我已成功实施 Bellman-Ford，以在边缘具有负权重/距离时找到最短路径的距离。我无法让它返回所有最短路径（当有最短路径时）。我设法用 Dijkstra 获得了所有最短路径（在给定的一对节点之间）。 Bellman-Ford 有可能吗？（只是想知道我是否在浪费时间尝试）

【问题讨论】：

在数学上，我不确定这是否可行。例如，如果所有边的成本为零，那么您可以采用无限多条可能的最短路径。你想要最短的非循环路径吗？
是的，抱歉，应该指定。我想找到两个节点之间的所有最短非循环路径。

标签： algorithm shortest-path bellman-ford

【解决方案1】：

如果您稍微更改Bellman-Ford algorithm 的第二步，您可以实现非常相似的效果：

for i from 1 to size(vertices)-1:
   for each edge uv in edges: // uv is the edge from u to v
       u := uv.source
       v := uv.destination
       if u.distance + uv.weight < v.distance:
           v.distance := u.distance + uv.weight
           v.predecessor[] := u
       else if u.distance + uv.weight == v.distance:
           if u not in v.predecessor:
               v.predecessor += u

其中v.predecessor 是一个顶点列表。如果v 的新距离等于尚未包含的路径，则包含新的前任。

为了打印所有最短路径，您可以使用类似

procedure printPaths(vertex current, vertex start, list used, string path):
    if current == start:
        print start.id + " -> " + path
    else:
        for each edge ve in current.predecessors:
            if ve.start not in used:
                printPaths(ve.start,start, used + ve.start, ve.start.id + " -> " + path)

使用printPaths(stop,start,stop,stop.id) 打印所有路径。

注意：如果在算法完成后删除重复元素，则可以从修改后的算法中排除 if u not in v.predecessor then v.predecessor += u。

【讨论】：

感谢您的帮助。实际上，除了递归 printPaths 过程之外，我已经设法完成了所有事情，这在查看之后真的很简单。有没有办法在不递归的情况下打印所有路径？在更一般的意义上，是否总是可以使用循环而不是递归？
是的，但是跟踪used 很棘手，因为这是一种回溯算法。如果您想创建一个迭代版本，您将不得不以某种方式操纵used 列表而不创建无限循环。有一些粗略的解决方案，例如构建一个queue[0,...,n-1]，其中queue[i] 包含i 级别（queue[0] := [stop]）的所有可能的前辈，并使用n 维多索引I 来迭代队列。但是您必须检查当前设置的I 是否有效。由于您只使用非循环路径，因此您可以使用used 的顶点集列表。
v.predecessor[] := u 和 v.predecessor += u 有什么区别？
@calibr v.predecessor[] := u 将predecessor 的列表设置为u 并且只是u，而v.predecessor += u 将其添加到列表中。该符号在某种程度上取自en.wikipedia.org/w/…。