确定两个凸包是否重叠答案

【问题标题】：determining whether two convex hulls overlap确定两个凸包是否重叠
【发布时间】：2019-12-19 20:50:57
【问题描述】：

我正在尝试找到一种有效的算法来确定两个凸包是否相交。外壳由 N 维空间中的数据点组成，其中 N 为 3 到 10 左右。使用来自 scipy 的 linprog 建议了一种优雅的算法here，但是您必须遍历一个外壳中的所有点，事实证明该算法对于低维度非常慢（我尝试过，一位受访者也尝试过）。在我看来，该算法可以概括为回答我在这里发布的问题，我发现我认为是一个解决方案here。作者说，一般线性规划问题采用 Ax + tp >= 1 的形式，其中 A 矩阵包含both 外壳，t 是某个常数 >= 0，并且 p = [1,1,1,1...1]（相当于找到 A 的解x > 0 对于某些 x）。由于我是 linprog() 的新手，我不清楚它是否可以处理这种形式的问题。如果论文第1页定义了A_ub，那么b_ub是什么？

【问题讨论】：

标签： linear-programming convex-hull cvxpy scipy-optimize

【解决方案1】：

在this website 上有一个很好的解释如何解决这个问题，使用 R 中的算法。我原来的帖子提到了 scipy.optimize.linprog 库，但事实证明这不够健壮。我发现cvxpy库中的SCS算法效果很好，基于此我想出了以下python代码：

import numpy as np
import cvxpy as cvxpy

# Determine feasibility of Ax <= b
# cloud1 and cloud2 should be numpy.ndarrays
def clouds_overlap(cloud1, cloud2):
    # build the A matrix
    cloud12 = np.vstack((-cloud1, cloud2))
    vec_ones = np.r_[np.ones((len(cloud1),1)), -np.ones((len(cloud2),1))]
    A = np.r_['1', cloud12, vec_ones]

    # make b vector
    ntot = len(cloud1) + len(cloud2)
    b = -np.ones(ntot)

    # define the x variable and the equation to be solved
    x = cvxpy.Variable(A.shape[1])
    constraints = [A*x <= b]

    # since we're only determining feasibility there is no minimization
    # so just set the objective function to a constant
    obj = cvxpy.Minimize(0)

    # SCS was the most accurate/robust of the non-commercial solvers
    # for my application
    problem = cvxpy.Problem(obj, constraints)
    problem.solve(solver=cvxpy.SCS)

    # Any 'inaccurate' status indicates ambiguity, so you can
    # return True or False as you please
    if problem.status == 'infeasible' or problem.status.endswith('inaccurate'):
        return True
    else:
        return False

cube = np.array([[1,1,1],[1,1,-1],[1,-1,1],[1,-1,-1],[-1,1,1],[-1,1,-1],[-1,-1,1],[-1,-1,-1]])
inside = np.array([[0.49,0.0,0.0]])
outside = np.array([[1.01,0,0]])

print("Clouds overlap?", clouds_overlap(cube, inside))
print("Clouds overlap?", clouds_overlap(cube, outside))

# Clouds overlap? True
# Clouds overlap? False

数值不稳定区域是指两朵云刚刚接触，或者任意接近接触，因此无法明确判断它们是否重叠。这是您将看到此算法报告“不准确”状态的情况之一。在我的代码中，我选择考虑重叠的这种情况，但由于它是模棱两可的，你可以自己决定做什么。

【讨论】：