通过 numpy FFT 进行数值微分

Question

我正在学习如何使用 numpy 进行快速傅里叶变换微分。在下面的代码中，我创建了一个简单的正弦函数并尝试获取余弦。结果显示在图像中，似乎有一个标准化因素，尽管阅读了文档，但我还是不明白，这使我无法获得正确的结果。

你能告诉我如何摆脱标准化因素，或者我是否以不同的方式失败？ 另请解释为什么当数组长度为奇数时不存在奈奎斯特频率。

x = np.arange(start=-300., stop=300.1, step=0.1)
sine = np.sin(x)

Y = np.fft.rfft(a=sine, n=len(x))
L = 2.*np.pi #period
N = size(Y)

for k, y in enumerate(Y):
    Y[k] *= 2.*np.pi*1j*k/L

# if N is even, the last entry is the Nyquist frequency.
#if N is odd, there it is not there.
if N%2 == 0:
    Y[-1] *= 0.

cosine = np.fft.irfft(a=Y, n=len(x))

Answer 1

你能告诉我如何摆脱标准化因素，或者我是否以不同的方式失败？

为术语2.*np.pi*1j*k/L 添加np.exp()。这一项似乎是相位旋转的量，所以它们的范数应该是 1。

for k in range(N):
    Y[k] *= np.exp(2.*np.pi*1j*k/L)

还请解释为什么当数组长度为奇数时不存在奈奎斯特频率。

这是离散傅立叶变换的本质。简单来说，当采样点数N为奇数时，不存在等于N/2的整数。