基于 Copula 的条件概率

Question

阅读论文“A multivariate model of seastorm using copulas”（De Michele 等人，2007 年）https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0378383907000592 我被困在 R 中的偏导数计算上。

数学背景：

如果你有三个变量 H、D、I（U1=F(H) 等），你需要估计条件概率

P(U3|U1,U2)

你应该首先估计偏导数的比率，例如

(∂C(u1,u2,u3)/∂u1 ∂u2) / (∂C(u1,u2)/∂u1 ∂u2)

（详情请看图），

代码：

在 R 包“VineCopula”(https://cran.r-project.org/web/packages/VineCopula/VineCopula.pdf) 之后，函数 dduCopula 计算偏导数

∂C(u1,u2)/∂u1,

所以这个过程对于简单的偏导数（图中名为 k、m 和 n）很容易。

但是与系词 C(k,m) 相比，我如何估计另一个变量“u1”的偏导数。

∂C(k,m)/∂u1 ?

对于k和n的偏导数：

library(VineCopula)
u1<-pobs(H)
u2<-pobs(D) 
library(copula)
C_hd <- BB1Copula()
k <- ddvCopula(cbind(u1,u2), C_hd)
n <- dduCopula(cbind(u1,u2), C_hd)

你有什么想法吗？

Answer 1

De Michele 等人提出的构造原则。 （2017）在三元情况下被广泛称为vine copula或pair-copula construction。如果您想使用此类模型，我建议您先阅读更多有关它们的信息。一个好的起点是Aas et al. (2009) 的论文，您可以在http://www.vine-copula.org 或google scholar 上找到更多内容。

现在回答你的问题：根据链式法则，我们得到 this ，因此得到 that 。

R 中的一个例子是：

# required package
library(VineCopula)

## simulate data
H <- rnorm(100)
D <- rnorm(100)
I <- rnorm(100)

## probability integral transforms
u_H <- pobs(H)
u_D <- pobs(D) 
u_I <- pobs(I)

## define dummy pair-copulas
C_HD <- BB1Copula()
C_DI <- BB1Copula()
C_HIgivenD <- BB1Copula()  # this is conditional dependence!

## calculate the conditional probability
k <- ddvCopula(cbind(u_H, u_D), C_HD)
m <- dduCopula(cbind(u_D, u_I), C_DI)
cond_prob <- dduCopula(cbind(k, m), C_HIgivenD)