八度音阶的特征值与 eig()答案

【问题标题】：Eigenvalues in octave with eig()八度音阶的特征值与 eig()
【发布时间】：2014-04-07 09:32:54
【问题描述】：

考虑实数对称矩阵

S = (2, 1; 1, 2)

从特征方程 |S - λ I|，我们有二次 (2-λ)^2 - 1 = 0，其解产生特征值 3 和 1。对应的特征向量是 (1;-1) 和(1;1)。

octave:4> [V,lambda] = eig([2, 1; 1,2])
V =

  -0.70711   0.70711
   0.70711   0.70711

lambda =

Diagonal Matrix

   1   0
   0   3

为什么特征向量是八度[-0.70711; 0.70711] 和 [0.70711; 0.70711]?

【问题讨论】：

【解决方案1】：

给定λ₁ = 3，对应的特征向量为：

| 2 1 |   |x|     |x|
|     | * | | = 3 | |   =>   x = y
| 1 2 |   |y|     |y|

即对于任何非零实数 x，任何 [x, x]' 形式的向量都是特征向量。所以[0.70711, 0.70711]' 是一个与[1, 1]' 一样有效的特征向量。

Octave（也包括 Matlab）选择的值使得每个特征向量的元素的平方和等于一（特征向量被归一化为范数为 1 并且被选择为正交的，准确地说）。

当然同样适用于 λ₂ = 1。

【讨论】：

【解决方案2】：

换句话说，V 是 [1 1; 的 qr 之一； -1 1]

所以你可以这样检查。

a = [1 1; -1 1]
[q,r] = qr(a)

q = 
   -0.70711  0.70711
    0.70711  0.70711

结果和eig一样

【讨论】：

【解决方案3】：

Manlio 是正确的，原因如下：

任何特征值问题都有无限个特征向量。当您手动找到一个特征向量时，您实际计算的是一个参数化向量，表示该无限系列的解决方案。给定特征值的特定特征向量 Octave（和大多数计算机软件）返回的元素可用于形成与该特征值相关的特征空间的正交基向量。这些基向量的任何线性组合都是特征向量。

因此，如果您期望不同的特征向量，只需检查以确保它与计算的基向量 Octave 线性相关。

【讨论】：