3D 矢量线性插值答案

【问题标题】：3D Vector linear interpolation3D 矢量线性插值
【发布时间】：2023-03-22 20:45:01
【问题描述】：

如何在两个 3d 向量之间切换？我将此方法用于二维向量：

public Vector2d lerp(Vector2d other, double speed, double error) {
    if (equals(other) || getDistanceSquared(other) <= error * error)
        return other;
    double dx = other.getX() - this.x, dy = other.getY() - this.y;
    double direction = Math.atan2(dy, dx);
    double x = this.x + (speed * Math.cos(direction));
    double y = this.y + (speed * Math.sin(direction));
    return new Vector2d(x, y);
}

注意：这不完全是“线性插值”；此方法将以恒定速率进行插值，这正是我想要的。

我想完全做到这一点，但为第三个维度添加了 z 组件。我该怎么做？

【问题讨论】：

标签： java 3d trigonometry lerp

【解决方案1】：

最简单的方法是转换两个向量，使它们位于(u, v) 平面内；然后应用上面的方法；然后变换回原来的坐标空间。

这需要你构造一个旋转矩阵：

取两个向量的叉积，得到相互法线向量；打电话给cross_1；
定义this 沿u 轴指向；
取this 和cross_1 的叉积，得到一个向量cross_2，也就是你的v 轴的方向。
对这三个向量中的每一个进行归一化；打电话给他们this_norm、cross_2_norm 和cross_1_norm。

这三个向量可以写成一个 3x3 正交矩阵（每个向量都是一个 3 元素的列向量）：

R = [ this_norm cross_2_norm cross_1_norm ]

现在：您可以将您的 3d 向量 this 和 other 乘以这个矩阵，您将得到具有以下形式的向量

[  u  ]
[  v  ]
[  0  ]

即一个以零作为第三个元素的 3 维列向量（或者，至少你应该这样做。我可能忘记转置上面的 3x3 矩阵）。

因此，您显然可以丢弃第三个元素，并拥有 2 元素列向量：您可以将它们存储在 Vector2d 中。因此，您可以应用上面的方法进行插值。

这会给你一个Vector2d，它在(u, v) 平面中进行插值。您可以将其转换回(x, y, z) 空间，方法是在其上附加零第三个元素，并预乘以R'（这是R 的倒数，因为它是正交的）。

当然，您需要处理退化的情况，例如零和（反）平行向量。在这些情况下，一个或两个叉积为零，这意味着您无法对它们进行归一化；只需选择任意方向即可。

【讨论】：

【解决方案2】：

如果我正确理解您的代码，当您计算 dx 和 dy 偏移量时，然后计算角度，最后计算 sin/cos 对 - 您基本上是在对 dx,dy 向量进行归一化，因此您可以这样编写：

Vector2d delta = other - this;         // I'm not sure about your API here,
delta.normalize();                     // you may need to fix those lines
double x = this.x + (speed * delta.x);
double y = this.y + (speed * delta.y);

现在添加 Z 组件应该很简单了。

【讨论】：