C# 中 Math.Sin() 和 Math.Cos() 的准确性

Question

我对 CLR 中固有的三角函数的不准确性感到非常恼火。众所周知

Math.Sin(Math.PI)=0.00000000000000012246063538223773

而不是 0。Math.Cos(Math.PI/2) 会发生类似的情况。

但是当我进行一系列计算时，在特殊情况下评估为

Math.Sin(Math.PI/2+x)-Math.Cos(x)

x=0.2 的结果为零，但 x=0.1 的结果不为零（试试看）。另一个问题是当参数很大时，不准确性会成比例地变大。

所以我想知道是否有人用 C# 编写了一些更好的三角函数表示，以便与世界分享。 CLR 是否调用了一些实现 CORDIC 或类似的标准 C 数学库？链接：wikipedia CORDIC

Answer 1

这与三角函数的准确性无关，而更多地与 CLS 类型系统有关。根据文档，double 的精度为 15-16 位（这正是您所得到的），因此您不能更精确地使用这种类型。因此，如果您想要更高的精度，则需要创建一个能够存储它的新类型。

另外请注意，您永远不应该编写这样的代码：

double d = CalcFromSomewhere();
if (d == 0)
{
    DoSomething();
}

你应该这样做：

double d = CalcFromSomewhere();
double epsilon = 1e-5; // define the precision you are working with
if (Math.Abs(d) < epsilon)
{
    DoSomething();
}

Answer 2

我听到了。我对划分的不准确感到非常恼火。前几天我做了：

Console.WriteLine(1.0 / 3.0);

和我0.333333333333333，而不是正确的答案是0.333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333...

也许现在您明白问题所在了。 Math.Pi 不等于 pi 大于 1.0 / 3.0 等于三分之一。它们都与真实值相差几百万亿分之一，因此您使用 Math.Pi 或 1.0/3.0 执行的任何计算也将相差几百万亿分之一，包括取正弦。

如果您不喜欢近似算术是近似，那么不要使用近似算术。使用精确的算术。当我需要精确算术时，我曾经使用滑铁卢枫树；也许你应该买一本。

Answer 3

这是浮点精度的结果。您可能会获得一定数量的有效数字，并且任何无法准确表示的内容都是近似的。例如，pi 不是有理数，因此不可能得到精确的表示。由于您无法获得 pi 的精确值，因此您将无法获得包括 pi 在内的数字的精确正弦和余弦值（大多数情况下您也不会获得正弦和余弦的精确值）。​​

最好的中间解释是"What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic"。如果你不想深入，请记住浮点数通常是近似值，浮点计算就像在地面上移动一堆沙子：你对它们所做的一切，你都会失去一点沙子，捡起一点泥土。

如果你想要精确的表示，你需要找到一个符号代数系统。

Answer 4

您需要使用任意精度的十进制库。 （.Net 4.0 有一个arbitrary integer class，但不是十进制）.

一些流行的可用：

• BigNum
• W3B.Sine

Answer 5

我拒绝错误是由于四舍五入造成的想法。可以做的是定义sin(x) 如下，使用 6 项的泰勒展开式：

    const double π=Math.PI;
    const double π2=Math.PI/2;
    const double π4=Math.PI/4;

    public static double Sin(double x)
    {

        if (x==0) { return 0; }
        if (x<0) { return -Sin(-x); }
        if (x>π) { return -Sin(x-π); }
        if (x>π4) { return Cos(π2-x); }

        double x2=x*x;

        return x*(x2/6*(x2/20*(x2/42*(x2/72*(x2/110*(x2/156-1)+1)-1)+1)-1)+1);
    }

    public static double Cos(double x)
    {
        if (x==0) { return 1; }
        if (x<0) { return Cos(-x); }
        if (x>π) { return -Cos(x-π); }
        if (x>π4) { return Sin(π2-x); }

        double x2=x*x;

        return x2/2*(x2/12*(x2/30*(x2/56*(x2/90*(x2/132-1)+1)-1)+1)-1)+1;
    }

典型错误是1e-16，最坏情况是1e-11。它比 CLR 差，但可以通过添加更多项来控制。好消息是，对于 OP 中的特殊情况和Sin(45°)，答案是准确的。

Answer 6

我们当前的正弦和余弦实现是

    public static double Sin(double d) {
        d = d % (2 * Math.PI); // Math.Sin calculates wrong results for values larger than 1e6
        if (d == 0 || d == Math.PI || d == -Math.PI) {
            return 0.0;
        }
        else {
            return Math.Sin(d);
        }
    }

    public static double Cos(double d) {
        d = d % (2 * Math.PI); // Math.Cos calculates wrong results for values larger than 1e6
        double multipleOfPi = d / Math.PI; // avoid calling the expensive modulo function twice
        if (multipleOfPi == 0.5 || multipleOfPi == -0.5 || multipleOfPi == 1.5 || multipleOfPi == -1.5) { 
            return 0.0;
        }
        else {
            return Math.Cos(d);
        }
    }