（二次？）数据插值以找到扇区交叉时间

Question

我正在以每秒 60 次的速度从移动的车辆（游戏中的赛车）接收数据。我想（尽可能准确地）确定车辆穿过某个扇区的时间（沿着轨道在某个指定的目标距离处）。由于更新率有限，我总是会在扇区之前收到一个样本，在扇区之后收到一个样本，所以我需要在这两个点之间进行插值，以找到跨越扇区的时间（介于两者之间）。

我收到的每次更新的数据包含：

• 更新时间t
• p 沿轨道的位置（百分比为 0-1）
• 车辆的速度v

我可以仅使用时间和距离来使用简单的线性插值，但它不够准确。例如，如果交叉前的样本有时间t0和位置p0，交叉后的样本有t1和p1，交叉位置是p，那么交叉时间@987654329 @来自线性插值应该是：

t = t0 + (p - p0) / (p1 - p0) * (t1 - t0)

这是相对简单的 - 它假设一个恒定的速度

v = (p1 - p0) / (t1 - t0)

并使用它来确定从p0 到p 需要多长时间。

但是，我不想假设速度恒定，我拥有两个样本的速度并且它不相等。

如何考虑使插值更准确所需的速度？我假设我需要使用某种二次插值而不是线性，我假设两个样本之间的速度线性变化（因此时间呈二次方），但我看不出我应该如何做到这一点。

Answer 1

这完全取决于您对系统的假设，您说您不想假设恒定速度，您能否假设恒定加速度？至少在时间范围内，如果两者都没有，您可以将其视为样条线。

基本上你所拥有的是两个点及其导数，你可以从中得到的最多的是三次插值而不做任何假设

公式来自Wikipedia Spline Interpolation。

F(t0) = p0
F(t1) = p1
dF(t0)/dt = v0
dF(t1)/dt = v1

F(t) = (1-k)*p0 + k*p1 + k*(1-k)*(a*(1-k) + b*k)
where
k = (t-t0) / (t1-t0)
a = v0*(t1-t0) - (p1-p0)
b = -v1*(t1-t0) + (p1-p0)

请注意，这会给你一个三次函数F(t)=p，你必须解决它才能得到你想要的函数T(p)=t，因为我们没有假设任何东西，所以不能保证它是正数并且一直增加，您可能会获得非常高的加速度或负速度。