压缩打乱的整数序列 [0, N)

Question

令 A 为整数序列 [1, N)，例如，对于 N=5：0,1,2,3,4。 然后让我们随机将其洗牌到 S 中（对于 N=5，它可能是：4,1,3,2,0）。 有没有什么聪明的方法来压缩 S（包含 [0, N) 中的每个整数的随机数组恰好一次）？

我能想到的最好的办法听起来不像是最佳解决方案：维护一个“未使用”整数列表（用 [0, N) 初始化）并使用最小值将每个序列项作为该列表中的索引输出位数（由于未使用的会变小，输出每个索引所需的位数也会减少）。像这样的：

unused = [0, N)
for x in S:
   k = index of x in unused
   nbits = log2(len(unused))
   output k as nbits integer
   remove x from unused

Answer 1

在您的示例中，有 5 个！ = 120 种可能的方式来打乱序列。假设所有 shuffle 的可能性相同，您能做的最好的事情就是将每个 shuffle 编码为 0..119 中的整数。

您可以查看@ymonad 在评论中链接的answer to the question，了解如何做到这一点。

让我们举一个更大的例子，看看你能做多好。假设我们将整数 0..255 随机打乱。存储它的最直接的方法，以及您可能需要它才能使用它的形式，是一个 256 字节的序列。表示 0..256!-1 中的整数所需的位数为 1684 位，即 210.5 字节。所以你能做的最好的事情就是从简单的表示中剔除大约 18% 的位。更长的随机播放给你更少的压缩。在极限情况下，你得到的压缩比大约是 1 - 1 / ln(n)，其中 n 是洗牌的唯一项目数。

因此您的里程将受到限制。您可能会考虑不去尝试压缩它。