如何操纵三角波，特别是频率？

Question

我得到了一个动态值，绘制了一个介于 -1 和 1 之间的三角波 t。起始值为 0。我想将这些值操作为以下值：

1. 在 0 和 1 之间振荡
2. 从 0.5 开始（改变其相位）
3. 将其频率提高 3 倍或更多（提高 2 倍仍然太慢）

使用 Triangle Waves 上的 Wikipedia 和 Wolfram 条目，我可以使用与此类似的公式部分完成此操作：

但特别是对频率的控制让我陷入了困境。

例如，(t+1)/2 负责上面的 1 和 2，但 #3（频率）只加倍...我如何将频率提高三倍或四倍？

Answer 1

让我使用 JS 语法，因为我们在 SO 上没有 MathJAX。
我假设你熟悉这个等式

y = abs( 2*x % 2 - 1)

             

这些值不是因果关系：

• 模数是创建周期性图案所必需的。值 2 是必需的，以便函数在开始新循环之前达到的最大值为 2（实际上 2 是最小上界，但没关系）。
• 最大振幅必须为 2，以便在减去 1 后，函数图像的范围为 [-1, 1)。
• 减 1 是必要的，因此对于绝对值，函数会被翻转为负值，假设为三角形并在 [0, 1] 范围内
• 需要乘以 2 以使 x 运行速度提高两倍，使函数在 0.5 处完成一个 emi 周期（因此一个周期在 1 个单位内完成）。

假设 x 轴是时间（如果是空间，那么它的波长为 1 个空间单位），则该函数具有幅度一和频率一。

函数的缩放和偏移很容易（感谢单一值的幅度）：

y = abs( 2*x % 2 - 1) * scale - offset

例如y = abs( 2*x % 2 - 1) * 3 - 1.5

                                       

请注意，此函数的频率仍然为 1。
要改变频率，只需将其相乘以使 x 运行得更快

y = abs( 2*freq*x % 2 - 1) * scale - offset

要添加一个阶段，我们只需要向 x

添加一个偏移量

y = abs( (2*freq*x + phase) % 2 - 1) * scale - offset

相位在 [0, 2] 范围内，其中 0 为 0%，2 为 100%。

这是一个振幅为 1、偏移为 1.5、频率为 1/3 和相位为 1 (50%) 的波示例：

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为了视觉参考，最终公式的更好的类型是