如何在 Matlab 中找到 N 倍卷积的参数？

Question

我有一个有趣的问题是关于 K 向量相互卷积。 K-1 向量的所有元素都是已知的。例如：

v1,v2,...vk,...,vK

并且所有向量的所有元素，除了vk，都是已知的，只有vk的两个相邻元素是参数。例如：

v1=[p1 p2 4 5];
v2=[1 4 2 3 2 1];
v3=[1 1 1 2];
v4=[2 2 1 3 4];

问题如下：

让''v''是v1，v2，v3，v4的卷积，即（假设conv象征性地工作）

v=conv(v1,v2); 
v=conv(v,v3);
v=conv(v,v4);

那么，v的每个元素可以写成如下：

v(n)=a0(n)+a1(n)*p1+a2(n)*p2

例子：让我们有两个向量

v1=[1, 1,1]
v2=[p1,p2,1]

然后

v=[p1,p1+p2,p1+p2+1,p2+1,1]

结果我们有

a0=[0,0,1,1,1], a1=[1,1,1,0,0], a2=[0,1,1,1,0]

所以a0是v的每个元素的常数，a1是p1的乘数，a2是p2的乘数

我想要一个高效的算法，可以计算 a0(n)、a1(n) 和 a2(n)。在下一次迭代中，我改变了参数，但同样的问题。一班后我会有

v1=[3 p1 p2 5];
v2=[1 4 2 3 2 1];
v3=[1 1 1 2];
v4=[2 2 1 3 4];

两班后：

v1=[3 1 p1 p2];
v2=[1 4 2 3 2 1];
v3=[1 1 2 2];
v4=[2 2 1 3 4];

三班倒后：

v1=[3 1 4 5];
v2=[p1 p2 2 3 2 1];
v3=[1 1 1 2];
v4=[2 2 1 3 4];

这个过程一直持续到

v1=[3 1 4 5];
v2=[1 4 2 3 2 1];
v3=[1 1 1 2];
v4=[2 2 1 p1 p2];

在每次迭代中，我需要获得 a0(n)、a1(n) 和 a2(n)。所以总共有 15 次迭代，每次迭代我将获得 3 个向量。因此，我总共需要获得一个具有 15 行和 3xlength(a0) 列的矩阵。

 i=1 -> a0_i,a1_i,a2_i, for i=1,...,15.

我的想法是将所有向量的所有元素定义为参数 p1,...pK。然后象征性地对它们进行一次卷积。这给出了 v(p1,...,pN)。然后在每次迭代中，除了两个感兴趣的相邻参数外，我可以给出所有其他值并且我可以评估 v 例如：

v(p1,p2,1,3 4,....,2)

在此之后，我可以检查 v 的每个元素是否有

v(n)=a0(n)+a1(n)*p1+a2(n)*p2

并提取a0(n)、a1(n)和a2(n)。

首先我不确定这是否有效。因为，在每次迭代中，我必须评估整个符号事物 v(p1,p2,1,3 4,....,2)，这可能是不必要的，因为我只是对参数进行了简单的迭代。其次，我不知道如何象征性地对 K 个向量进行卷积，或者这是一个好主意还是坏主意。

另一个想法是看到除了一个向量之外，所有向量都不包含任何参数。所以可以先用conv函数对这些向量进行卷积，得到v*。然后，a1(n) 和 a2(n) 似乎只是 v* 的元素，只有一个是另一个移位的元素。以下是我在一篇论文中所做的示例（p1, p2 是参数，p3, p4 是已知的，a1,..,a13 是已知向量的卷积结果）：

这种方法看起来更清晰，但在每次迭代中，都必须对 K-1 个向量进行卷积。因此，似乎需要进行大量计算，并且可能许多计算与前一次迭代相同。因此，在我看来效率并不高。

问题：给定 K 个任意长度的任意向量，如何有效地计算上述向量？

Answer 1

conv 不支持符号数学。所以我们必须使用另一种方法。

一种解决方案是将包含两个参数的向量分成三部分。

如果我们有v1 = [p1 p2 4 5]

我们可以创建v1_split:

 v1_split = [1 0 0 0;   %p1
             0 1 0 0;   %p2
             0 0 4 5];  

那么我们可以递归使用conv2来解决问题：

sol = conv2(conv2(conv2(v1_split,v2),v3),v4)

它将输出一个3xlength(a) 向量，其中第一行是a0，第二行是a1，最后一行是a2。

当然，我们可以使用递归函数来代替conv2(conv2(conv2(...：

function r = rconv2(x)
   if length(x) == 1 
      r = x{1};
   else
     r = conv2(x{1},rconv2(x(2:end)));
   end
 end

所以现在我们可以使用类似的东西：

%input vector for step 1
v ={[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 4 5],[1 4 2 3 2 1],[1 1 1 2],[2 2 1 3 4]} %{v1_split,v2,v3,v4}

%recursive convolution
sol = rconv2(v)

编辑，根据@Seyhmus 评论改进：

%Initial cell array of vectors
v ={[1 3 4 5],[1 4 2 3 2 1],[1 1 1 2],[2 2 1 3 4]} %{v1,v2,v3,v4}

%recursive convolution (need to be run only once)
allconv = rconv2(v)

%Example for step 1
%Deconv allconv with v{1}
dec = deconv(allconv,v{1})

%Compute v1_split
...

%Getting the solution using 2D convolution with v1_split:
sol = conv2(dec,v1_split)