C++ - 本征 FFT 用于二维图像的反卷积

Question

我正在尝试对图像执行反卷积 I，即 n x m。用于对其进行卷积的内核是K，也是n x m。 现在我想通过执行反卷积找到原始图像O。我知道我可以通过对 I 和 K 执行傅里叶变换并划分：I / K 来检索图像 O strong>，因为在傅里叶域中卷积是一个乘积。 （我从here 得到了这个信息）。

我看到另一篇关于如何使用 Eigen FFT 执行前向变换的帖子，here。

我的正向傅里叶变换代码是：

I = 输入图像（时域）

O = 输出图像（频域）

tempFreq = 计算的临时矩阵（频域）

timevec1 = 浮点向量

freqvec1、freqvec2、freqvec3 = 复向量

for (Int32 i = 0; i < I->uRowsCount; ++i)
{
    for (Int32 j = 0; j < I->uColumnsCount; ++j)
    {
        timevec1.push_back((*I)(i, j));
    }

    fft.fwd(freqvec1, timevec1);

    for (Int32 j = 0; j < I->uColumnsCount; ++j)
    {
        (tempFreq)(i, j) = freqvec1[j];
    }

    freqvec1.clear();
    timevec1.clear();
}

freqvec1.clear();
timevec1.clear();


for (Int32 j = 0; j < I->uColumnsCount; ++j)
{
    for (Int32 i = 0; i < I->uRowsCount; ++i)
    {
        freqvec2.push_back((tempFreq)(i, j));
    }

    fft.fwd(freqvec1, freqvec2);

    for (Int32 i = 0; i < I->uRowsCount; ++i)
    {
        (O)(i, j) = freqvec1[i];
    }

    freqvec2.clear();
    freqvec1.clear();
}

我的傅里叶逆变换代码是：

I = 输入图像（频域）

O = 输出图像（时域）

tempTime = 计算的临时矩阵（时域）

timevec1, timevec2 = 浮点向量

freqvec1, freqvec2 = 复向量

    for (Int32 j = 0; j < O->uColumnsCount; ++j)
    {
        for (Int32 i = 0; i < O->uRowsCount; ++i)
        {
            freqvec1.push_back((I)(i, j));
        }

        fft.inv(timevec1, freqvec1);

        for (Int32 i = 0; i < O->uRowsCount; ++i)
        {
            (*tempTime)(i, j) = timevecCol[i];
        }

        freqvec1.clear();
        timevec1.clear();
    }

    freqvec1.clear();
    timevec1.clear();

    for (Int32 i = 0; i < O->uRowsCount; ++i)
    {
        for (Int32 j = 0; j < O->uColumnsCount; ++j)
        {
            freqvec2.push_back((*tempTime)(i, j));
        }

        fft.inv(timevec2, freqvec2);

        for (Int32 j = 0; j < O->uColumnsCount; ++j)
        {
            (*O)(i, j) = timevec2[j];
        }

        freqvec2.clear();
        timevec2.clear();
    }

对于反卷积，我将频域中的输入图像与频域中的内核分开：

freqDomainOutputImage = freqDomainInputImage.cwiseQuotient(freqDomainKernel);

为了得到原始图像，我对 freqDomainOutputImage 执行傅里叶逆变换。

我得到的结果是：

我相信 FFT 将左上角镜像到另一边，但我不知道为什么？我没有使用 halfSpectrum。第二，为什么图像偏移？如果我通过用这个替换最后一个循环将输出图像移动到中心：

(*O)((i + O->uRowsCount/2)%O->uRowsCount, (j + O->uColumnsCount/2)%O->uColumnsCount) = timevec2[j];

那么我的输出是：

（可以看到图像是从左上象限镜像的）。

最后，为什么我自己添加了没有噪音的模糊，但它似乎有噪音？

Answer 1

tempTime 需要很复杂。您似乎正在丢弃那个虚构的组件，因此您获得了镜像效果。

从具有复共轭对称性的复频域图像开始，应用一维 DFT（例如沿行）。此变换的结果是仅沿列具有复共轭对称性的复图像。下一个 1D DFT 采用这些列并从中创建实值信号，从而生成实值图像。

如果在第一步之后您丢弃了虚部，那么您将沿着该维度移除空间域图像的奇数部分，留下一个偶数（对称）图像。这就是为什么您会在结果中看到这种对称性。

这样想：逆 DFT 反转了 DFT 的过程。如果 DFT 为real->complex->complex，则逆必须为complex->complex->real。中间图像具有空间和频率维度。频率分量总是需要很复杂。

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您已经发现需要交换象限。这是因为 DFT 在空间域和频域都使用最左边的像素作为原点。因此，您的空间域卷积核的原点必须位于左上角，这样所有这些才能正常工作。

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最后，您想知道噪音。这是由数值不稳定引起的。图像的某些频率分量只是具有非常小的值。对于低通滤波图像尤其如此。在那里，您将非常小的值除以其他非常小的值，从而产生废话。

反卷积在实践中总是需要正则化。维纳滤波器是向反卷积添加正则化的最简单方法。有关详细信息，请参阅this other answer。