当 [C] 已知且 [B] 是随机生成且行数少于列数时，求解 [A] 以满足 [A]*[B]=[C]

Question

我的目标是求解满足 [A]*[B]=[C] 的矩阵 [A]，其中 [C] 已知且 [B] 是随机生成的。下面是一个例子：

C=[1/3 1/3 1/3]'*[1/3 1/6 1/6 1/6 1/6];
B=rand(5,5);
A=C*pinv(B);
A*B=C_test;
norm(C-C_test);
ans =

4.6671e-16

这里 [C_test] 的元素在原始 [C] 的 1e-15 范围内，但是当 [B] 的行数少于列数时，误差会急剧增加（不确定 norm() 是不是最好的显示方式错误，但我认为它说明了问题）。例如：

B=rand(4,5);
A=C*pinv(B);
A*B=C_test;
norm(C-C_test);
ans =

0.0173

其他方法：

二维码分解

[Q,R,P]=qr(B);
A=((C*P)/R))*Q';
norm(C-A*B);
ans =

0.0173

/ 运算符

A=C/B;
norm(C-A*B);
ans =

0.0173

为什么会这样？在这两种情况下 [B]*pinv([B])=[I] 所以看起来这个过程应该有效。 如果这是与 pinv() 或其他方法相关的生命的数值或代数事实，是否有另一种方法可以生成 [A] 来满足方程？谢谢！

Answer 1

由于 C 是 3×5，C 中的元素数和方程数等于 15。如果 B 是 5×5，未知数（A 中的元素）的数量等于 3×5 = 15也一样，并且解决方案将是准确的。

另一方面，如果 B 是 3×5，则 A 中的元素数等于 3×3 = 9，因此系统是超定的，这意味着结果 A 将是最小二乘解.

有关一般信息，请参阅维基百科：System of linear equations 和 Matlabs Overdetermined system。

得到的矩阵 A 是最合适的，没有办法改进（在最小二乘意义上）。

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在回答您的第二个问题时：您通过将 2 范数应用于 A*B-C：来测量 A*B 的近似值作为 C 的近似值：这相当于最小二乘拟合。在这个衡量标准中，您使用的所有方法都提供了最佳答案。

但是，如果您更喜欢其他度量，例如 1-范数、无穷大范数或任何其他度量（例如，通过为列、行或元素选择不同的权重），则从原始方法获得的答案将当然，就这一新措施而言，不一定是最佳的。

最通用的方法是使用一些优化例程，如下所示：

x = fminunc(f, zeros(3*size(B,1),1));
A = reshape(x,3,size(B,1));

f 是一些（任何）度量。最小二乘法的结果应该是相同的 A。所以如果你试试这个：

f = @(x) norm(reshape(x,3,size(B,1))*B - C);

A 应该与您的方法中的结果相匹配。

但你可以在这里使用任何f。例如，尝试 1-范数：

f = @(x) norm(reshape(x,3,size(B,1))*B - C, 1);

或者像这样疯狂的东西：

f = @(x) sum(abs(reshape(x,3,size(B,1))*B - C)*[1 10 100 1000 10000]');

这将给出不同的结果，根据新的措施f最佳。话虽如此，我会坚持最小二乘；）