找到与常数或另一个矩阵相乘时给出相同结果的矩阵答案

【问题标题】：Find a matrix that gives same result when multiplied by a constant or another matrix找到与常数或另一个矩阵相乘时给出相同结果的矩阵
【发布时间】：2012-02-09 17:13:01
【问题描述】：

我遇到了像A*x=lambda*x 这样的问题，其中A 是有序的d*d，x 是有序的d*c，而 lambda 是一个常数。 A 和 lambda 是已知的，而矩阵 x 是未知的。 matlab有什么办法可以解决这个问题吗？？（类似于特征值，但x 是d*c 矩阵而不是向量）。

【问题讨论】：

标签： matlab matrix linear-algebra eigenvalue

【解决方案1】：

如果我的理解正确，x 不一定有任何解决方案。如果A*x=lambda*x，那么x的任何一列y满足A*y=lambda*y，所以x的列就是A的特征向量，对应特征值lambda，只有如果lambda 实际上是一个特征值。

来自documentation：

[V,D] = eig(A) 生成特征值 (D) 和特征向量矩阵 (V) 矩阵 A，使得 A*V = V*D。矩阵 D 是 A — A 的特征值在主对角线上的对角矩阵。矩阵 V 是模态矩阵——它的列是 A 的特征向量。

您可以使用它来检查lambda 是否为特征值，并找到任何对应的特征向量。

【讨论】：

【解决方案2】：

你可以改变这个问题。使用 x(:) 将 x 写为向量（大小为 d*c x 1）。然后可以将 A 重写为 d*c x d*c 矩阵，该矩阵沿对角线具有 A 的 c 个版本。

现在这是一个简单的特征值问题。

【讨论】：

【解决方案3】：

它实际上是微不足道的。您的要求是 A*X = lambda*X，其中 X 是一个数组。实际上，看看 X 的单列会发生什么。如果存在数组 X，那么

A*X(:,i) = λ*X(:,i)

对于 X 的所有列的相同 lambda 值，这必须是正确的。本质上，这意味着 X(:,i) 是 A 的特征向量，具有相应的特征值 lambda。更重要的是，这意味着 X 的每一列都具有与其他每一列相同的特征值。

所以这个问题的一个简单的解决方案是简单地让矩阵 X 具有相同的列，只要该列是 A 的特征向量。如果特征值的多重性大于 1（因此有多个特征向量具有相同的特征值) 那么 X 的列可以是这些特征向量的任意线性组合。

在实践中尝试。我会选择一些简单的矩阵 A。

>> A = [2 3;3 2];
>> [V,D] = eig(A)
V =
     -0.70711      0.70711
      0.70711      0.70711
D =
           -1            0
            0            5

V的第二列是一个特征向量，特征值为5。我们可以任意缩放一个特征向量。所以现在选择向量 vec，并创建一个包含复制列的矩阵。

>> vec = [1;1];
>> A*[vec,vec,vec]
ans =
     5     5     5
     5     5     5

这应该不会让任何人感到惊讶。

【讨论】：