定点而不是浮点答案

【问题标题】：Fixed-point instead of floating point定点而不是浮点
【发布时间】：2017-06-28 08:24:05
【问题描述】：

定点数至少需要多少位才能与浮点数一样精确？如果我想用定点算术而不是浮点进行计算，我需要多少位才能使计算不那么精确？

单精度（32 位）浮点数可以表示小至 2^-126 大至 2^127 的数字，是否意味着定点数必须至少为 128.128 格式？（整数部分128位，小数部分128位）。

我知道单精度浮点数一次只能表示约 7 个十进制数字的范围，我在询问所有可能的值。

那么双精度（64 位浮点数）呢，真的需要 1024.1024 格式才能同样精确吗？

【问题讨论】：

请注意，128.128 浮点数实际上比 IEEE-754 浮点数更精确，因为后者有间隙（因为使用了有限尾数和指数）。浮点数或多或少是一种指数格式，具有固定大小的尾数/有效数，大于或小于范围 [1.0, 2,0) 的值是通过乘以 2^exponent（和一个符号）得出的——请注意，我没有讨论非规范化或NaN或无穷大。定点格式不会有任何间隙。无论如何，这是有道理的，因为浮点数有 32 位，而 128.128 的定点数将有 256。
但是你真的需要所有这些值吗？查看特定应用所需的值范围，并确定需要多少位。我想你可以节省一些。
@RudyVelthuis “请注意，128.128 浮点数实际上会更精确” - 对于几乎所有值，都是真的。 “你真的需要所有这些价值观吗？”可能不是，但我仍然很好奇需要多少位才能达到与浮点数相似的精度，尤其是对于边缘情况。
应该不难发现：最小的非正规是尾数中的 1（最低）位和最小指数（-126，IIRC，但不要让我失望） .

【解决方案1】：

对于single precision，您需要存储值在范围内的位 [2^-149, 2¹²⁸) 这需要有符号的 128.149 定点类型，总宽度为 278 位。

对于double precision，您需要存储值在范围内的位 [2^-1074, 2¹⁰²⁴) 需要有符号的 1024.1074 定点类型，总宽度为 2099 位。

（免责声明：这一切都假设我犯了偶数个错误。）

【讨论】：