使用定点而不是浮点的快速反平方根

Question

我正在尝试为定点数实现Fast Inverse Square Root，但我没有得到任何结果。

我试图遵循与文章完全相同的原则，除了不是以浮点格式x = (-1) ^ s * (1 + M) * 2 ^ (E-127) 写入数字，我使用的是x = M * 2 ^ -16 格式，这是一个 32 位定点数16 个小数位和 16 个小数位。

问题是我找不到“魔法常数”的值。根据我的计算，它不存在，但我不是数学家，我认为我做的一切都错了。

为了解决Y = 1 / sqrt(x)，我使用了以下推理（不知道是否正确）。

在原始代码中，牛顿的近似值 Y0 由下式给出：

i = 0x5f3759df - (i >> 1);

这意味着我们将因此得到一个浮点数：

y0 = (1 + R2 - M / 2) * 2 ^ (R1 - E / 2);

这是因为 >> 运算将指数和尾数除以 2，然后我们将数字减为整数。

按照文章中显示的步骤，我将x的格式设置为：

x = M * 2 ^ -16

为了尝试执行相同的逻辑，我尝试将 Y0 定义为：

Y0 = (R2 - M / 2) * 2 ^ (R1 - (-16/2));

我正在尝试找到一个数字，它可以最大程度地减少以下给出的错误：

error = (Y - Y0) / Y

无论 R1 的值如何，我都可以进行移位运算来校正最终结果的指数值，从而在固定点获得正确的结果。

我哪里错了？

Answer 1

做不到。

快速逆 sqrt 是由于浮点表示，它已经将数字分成了 2 的幂（指数）和重要的。

可以做到的。

使用与浮点相同的技巧，可以将定点转换为 2^exp * x。给定uint32_t a，uint8_t exp = bias- builtin_count_leading_zeros(a)； uint32_t b = a << exp，常量（和a 的域）经过精心挑选，不会出现下溢或上溢。

因此，您实际上将拥有一个自定义浮点表示，它是为此特定目的量身定制的，至少省略符号位并为指数提供尽可能多的位数，也可能是 8。