执行数组的笛卡尔积

Question

我有兴趣在 n 个数组上执行笛卡尔积。如果我提前知道数组的数量，我可以编写代码。例如，给定 2 个数组：

int[] a = new int[]{1,2,3};
int[] b = new int[]{1,2,3};

for(int i=0; i<=a.length; i++){
    for(int j=0; j<=b.length; j++){
        System.out.println(a[i]*b[j]);
    }
}

问题是在运行时，我不知道数组的数量。我可能有 2 个数组，或者我可能有 100 个数组。有没有办法我可以做到这一点？谢谢！

Answer 1

解决这个问题的一种方法是不断减少数组的数量，同时注意这一点

A₀ × A₁ × A₂ = (A₀ × A_{1) × A2}

因此，您可以编写这样的函数，计算两个数组的笛卡尔积：

int[] cartesianProduct(int[] one, int[] two) {
    int[] result = new int[one.length * two.length];
    int index = 0;

    for (int v1: one) {
        for (int v2: two) {
            result[index] = v1 * v2;
            index++;
        }
    }

    return result;
}

现在，您可以使用此函数将数组对组合成一个包含整个笛卡尔积的数组。在伪代码中：

While there is more than one array left:
    Remove two arrays.
    Compute their Cartesian product.
    Add that array back into the list.
Output the last array.

而且，作为真正的 Java：

Queue<int[]> worklist;
/* fill the worklist with your arrays; error if there are no arrays. */

while (worklist.size() > 1) {
    int[] first = worklist.remove();
    int[] second = worklist.remove();
    worklist.add(cartesianProduct(first, second));
}

/* Obtain the result. */
int[] result = worklist.remove();

这种方法的问题在于它使用的内存与您生成的元素总数成正比。这可能是一个非常大的数字！如果您只想一次打印所有值而不存储它们，则有一种更有效的方法。这个想法是，您可以开始列出不同数组中所有可能的索引组合，然后将这些位置的值相乘。一种方法是维护一个“索引数组”，说明下一个要查看的索引是什么。您可以通过“增加”数组来从一个索引移动到下一个索引，就像增加一个数字一样。下面是一些代码：

int[] indexArray = new int[arrays.length];
mainLoop: while (true) {
    /* Compute this entry. */
    int result = 1;
    for (int i = 0; i < arrays.length; i++) {
        result *= arrays[i][indexArray[i]]
    }
    System.out.println(result);

    /* Increment the index array. */
    int index = 0;
    while (true) {
        /* See if we can bump this array index to the next value.  If so, great!
         * We're done.
         */
        indexArray[index]++;
        if (indexArray[index] < arrays[i].length) break;

        /* Otherwise, overflow has occurred.  If this is the very last array, we're
         * done.
         */
        indexArray[index] = 0;
        index ++;

        if (index == indexArray.length) break mainLoop;
    }
}

这仅使用 O(L) 内存，其中 L 是您拥有的数组的数量，但可能会产生指数级的许多值。

希望这会有所帮助！

Answer 2

您可以使用递归而不是迭代 - 但请注意 - 可能会发生 StackOverflowException。