什么是需要精度的定点的最佳乘法算法

Question

我知道，我知道，人们可能会说“只是切换到浮点”，但由于我正在从事的项目的性质，目前这不是一个选项。我正在帮助用 C++ 编写编程语言，我目前很难获得一个非常准确的乘法算法，我有一个 VM，主要是 mod/smod、div/sdiv 的操作（即有符号的数字在这里不是问题), mul, 全小数的减半数和我乘除以创建我的移位的推送移位数。为简单起见，假设我正在使用 32 字节空间。我的算法几乎适用于涉及整数的任何事情，只是当我的小数部分超过 16 个字节时，我遇到了精度问题，如果我要对其进行四舍五入，这个数字会相当准确，但我希望它为尽可能准确，甚至愿意为它牺牲一点性能，只要它保持一个固定点并且不进入浮点领域。我关心的算法我会用一种伪代码来绘制。希望能深入了解如何让这件事变得更好，或者想知道为什么根据计算科学定律，我所要求的只是徒劳的努力。

对于完全小数（所有字节都是小数）：

 A = num1 / halfShift //truncates the number down to 16 so that when multiplied, we get a full 32 byte num
 B = num2 / halfShift
 finalNum = A * B

对于大于 16 字节的其余数字，我使用此算法：

 this algorithm can essentially be broken down into the int.frac form
 essentially A.B * C.D taking the mathematic form of
 D*B/shift + C*A*shift + D*A + C*B
 if the fractional numbers are larger than the integer, I halve them, then multiply them together in my D*B/shift
 just like in the fully fractional example above

我应该注意某种“神奇”的舍入方法吗？请告诉我。

Answer 1

如果先进行乘法运算，然后进行缩放，您将获得最准确的结果。当然，这意味着您需要将乘法结果存储在 64 位 int 类型中。 如果这不是一种选择，那么您提前转移的方法是有意义的。但你肯定会失去精度。

无论哪种方式，如果您舍入而不是截断，您可以稍微提高准确性。

我支持 Aconcagua 建议的四舍五入。 为此，您需要在应用除法之前添加将被截断的最高位。

在你的情况下，看起来像这样：

A = (num1 + 1<<(halfshift-1)) >> halfshift 
B = (num2 + 1<<(halfshift-1)) >> halfshift
finalNum = A * B

编辑：

有关如何根据因子的值动态缩放因子和结果的示例（这提高了分辨率，从而提高了结果的准确性）：

shiftA 和 shiftB 需要设置为使 A 和 B 各为 16 字节小数，因此 32 字节结果不会溢出。如果 shiftA 和 shiftB 事先不知道，可以通过统计 num1 和 num2 的前导零来确定。

A = (num1 + 1<<(shiftA-1)) >> shiftA
B = (num2 + 1<<(shiftB-1)) >> shiftB
finalNum = (A * B) >> (fullshift - (shiftA + shiftB))

Answer 2

乘积的小数位数等于操作数中小数位数的总和。您必须执行乘法到该精度，然后根据所需的目标精度进行舍入或截断。