乘以奇数如何不会在溢出中丢失信息？

Question

计算哈希码的标准方法是乘以 31。
布洛赫说：

选择值 31 是因为它是一个奇数素数。如果它是什 并且乘法溢出，信息将丢失，因为 乘以 2 与移位相同

我不确定我是否理解这一点。如果乘法溢出值丢失，无论偶数/奇数对吗？
在以下示例中，我不确定有什么区别：

int number = 2000000000;  
System.out.println(Integer.toBinaryString(number));  
number*=2;   
System.out.println(Integer.toBinaryString(number));    
1110111001101011001010000000000  
11101110011010110010100000000000  

和

int number = 2000000000;  
System.out.println(Integer.toBinaryString(number));  
number*=3;  
System.out.println(Integer.toBinaryString(number));  
1110111001101011001010000000000  
1100101101000001011110000000000  

Answer 1

偶数总是忘记至少最重要的位。 msb 仅在乘数为奇数时才会影响结果，因为只有左移 0 步时它不会立即消失。这也是“信息会丢失，因为乘以 2 与移位相同”的意思。在您的示例中，您不会遇到太多明显的麻烦，因为结果不会溢出， 2000000000 = 0x77359400 显然没有设置最高位（它作为有符号整数包装为负数，但这无关紧要，符号位是正常位携带一些信息，将某些东西移入其中不会破坏信息），向后工作，无论是移位前的 0x77359400 还是 0xF7359400，都是模棱两可的。我希望这是足够的“直观理由”。

只有奇数乘数才能保存所有信息的真正证据是，正是奇数具有乘法逆元以 2 的幂为模。 x 有一个乘法逆模 m 当且仅当 gcd(x, m) == 1，假设 m 为 2^k，该条件仅适用于奇数：它不能适用于偶数，因为它们有2 的共同因数，由于奇数没有 2 的因数，而 2^k只有 有 2 的因数，所以它们从不共享任何因数。

存在一个逆 inv(x) 的事实意味着您可以编写 number * x * inv(x) = number，因此在第一次乘法中不会丢失任何信息。

作为一个具体的例子，inv(3) = 0xaaaaaaab 所以：

2000000000 * 3 = 0x65a0bc00
0x65a0bc00 * 0xaaaaaaab = 2000000000