我们如何为 R 中的离散随机变量 X 找到 E(X^n)？答案

【问题标题】：How can we find E(X^n) for a discrete random variable X in R?我们如何为 R 中的离散随机变量 X 找到 E(X^n)？
【发布时间】：2019-03-08 04:44:20
【问题描述】：

假设离散随机变量 X 的值 randomNumbers 及其分布 prob 已给出。

我可以使用以下代码找到 E(X)：

weighted.mean(randomNumbers, prob)

我们如何在 R 中找到 E(X^n)？

这段代码行得通吗？

weighted.mean(randomNumbers^n, prob)

【问题讨论】：

标签： r statistics probability weighted-average

【解决方案1】：

以泊松随机变量X ~ Poisson(2)为例。

概率法

f1 <- function (N) {
  x <- 0:N
  p <- dpois(x, 2)
  ## approximate E[X]
  m1 <- weighted.mean(x, p)
  ## approximate E[X ^ 2]
  m2 <- weighted.mean(x ^ 2, p)
  ## approximate E[X ^ 3]
  m3 <- weighted.mean(x ^ 3, p)
  ## return
  c(m1, m2, m3)
  }

随着N 变大，近似越来越准确，因为序列在解析上收敛。

N <- seq(10, 200, 10)
m123_prob <- t(sapply(N, f1))
matplot(m123_prob, type = "l", lty = 1)

统计方法（基于抽样的方法）

f2 <- function (sample_size) {
  x <- rpois(sample_size, 2)
  ## unbiased estimate of E[x]
  m1 <- mean(x)
  ## unbiased estimate of E[x ^ 2]
  m2 <- mean(x ^ 2)
  ## unbiased estimate of E[x ^ 3]
  m3 <- mean(x ^ 3)
  ## return
  c(m1, m2, m3)
  }

随着sample_size 的增长，估计越来越准确，因为序列在概率上收敛。

sample_size <- seq(10, 200, 10)
m123_stat <- t(sapply(sample_size, f2))
matplot(m123_stat, type = "l", lty = 1)

【讨论】：