n 个硬币的无偏抛硬币，每枚硬币具有不同的成功值答案

【问题标题】：Unbiased coin toss of n coins with different success values for each coinn 个硬币的无偏抛硬币，每枚硬币具有不同的成功值
【发布时间】：2018-01-25 17:18:52
【问题描述】：

假设我们有 n 个硬币，硬币 i 正面朝上的概率是 f(i)。找出当所有 n 个硬币都被掷出时出现偶数正面的概率。

f(i) = 1 / (2i + 3)

这里 n 很大，大约为 1e5，因此需要有效的方法。

我试图分析蛮力案例，但这太过分了，即如果我计算 2 次成功、4 次、6 次...，可能需要数年时间才能运行。

然后我想以某种方式应用期望线性度，但想不出任何可以提供帮助的方法。

【问题讨论】：

近似值是否足够好？我怀疑结果将非常接近 1/2。要获得确切的结果，请考虑 2 个状态的马尔可夫链，分别命名为奇数和偶数。如果硬币 i = 正面，则存在从奇数到偶数或从偶数到奇数的过渡。如果硬币 i = 反面，您将保持相同的状态。每次抛硬币都会给出一个转换矩阵，n = 1e5 步转换矩阵就是 m(1) 的乘积。米（2）。米（3）...米（1e5）。转移概率由您提到的函数 f 给出。您可以轻松找到该产品；它只是 2x2 转换矩阵的乘积。
@RobertDodier 确实非常接近 0.5，尽管我使用了递归（这是让马尔可夫链运行的另一种方法）

标签： probability

【解决方案1】：

这应该是简单的递归，不是吗？

让我们 p(k) = 1/(2*k+3), q(k) = 1 - p(k), V(k) 是在 k 之后出现偶数抛掷的概率。

让我们考虑最后一次投掷

V(n) = q(n)*V(n-1) + p(n)*(1-V(n-1)) = (q(n)-p(n))*V(n-1) + p(n)
V(0) = 1

C++ 代码

#include <iostream>

inline double p(int k) {
    return 1.0/(2.0*k + 3.0);
}

inline double q(int k) {
    return 1.0 - p(k);
}

double V(int k) {
    if (k == 0)
        return 1.0;

    return (q(k) - p(k))*V(k-1) + p(k);
}

int main() {
    std::cout << V(10000) << std::endl;

    return 0;
}

V(10000) 确实非常接近 0.5

V(10000) = 0.500075

【讨论】：