NSV，欧拉积分混淆答案

【问题标题】：NSV, Euler Integration ConfusionNSV，欧拉积分混淆
【发布时间】：2011-06-22 20:19:40
【问题描述】：

我正在努力理解这些集成方法，但我完全糊涂了。

代码如下：

public void update_euler(float timeDelta){
    vPos.y += vVelocity.y * timeDelta; 
    vVelocity.y += gravity.y * timeDelta;
}


public void update_nsv(float timeDelta){    
    vVelocity.y += gravity.y*timeDelta;
    vPos.y += vVelocity.y * timeDelta; 
}


public void onDrawFrame(GL10 gl) {      
    currentTime = System.currentTimeMillis();
    float timeDelta = currentTime - startTime;
    startTime = currentTime;
    timeDelta *= 1.0f/1000;;

//  update_RK4(timeDelta);
//  update_nsv(timeDelta);
//  update_euler(timeDelta);
//  update_velocity_verlet(timeDelta);
}

首先，我只是想确保我做对了这些。

我正在模拟一个完全弹性的球弹跳，所以在弹跳时我只是反转速度。

欧拉方法，球每次反弹时反弹得更高。这是由于我的代码中的错误还是由于方法的不准确。我读过欧拉积分你会随着时间的推移失去能量。好吧，我正在获得它，但我不知道为什么。

nsv 方法：我不太明白这与 Eular 方法有何不同，但无论如何，球在每次反弹时反弹得更低。它正在失去能量，我读过这并不意味着 nsv 方法会发生这种情况。为什么我会失去能量？

（velocity verlet 和 RK4 方法按我的预期工作）。

我觉得我缺乏关于这个主题的基本信息，但我不知道是什么。

我确实意识到我的时间步长不足，更新它以使用静态时间步长运行物理会阻止我失去/获得能量，但我试图了解发生了什么。

任何帮助将不胜感激。

【问题讨论】：

标签： math language-agnostic physics game-physics

【解决方案1】：

要为@Beta 的答案添加另一个选项，如果您平均这两种方法，您的错误应该会消失（除了处理实际反弹的问题）。

public void update_avg(float timeDelta){    
    vVelocity.y += gravity.y*timeDelta/2;
    vPos.y += vVelocity.y * timeDelta; 
    vVelocity.y += gravity.y*timeDelta/2;
}

我在这里所做的是将速度更新为间隔内的平均速度，然后根据该速度更新位置，然后将速度更新为间隔结束时的速度。

如果您要建模更复杂的场景，请考虑使用Runge-Kutta Method 求解y' = f(x, y) 形式的微分方程。（请注意，这里y 可以是一组不同的变量。所以在你的情况下，你会有d(position, velocity)/dt = (velocity, -gravity)。我给你的代码与该方法的二阶版本相同。

【讨论】：

这实际上相当于将timeDelta除以2，并交替使用欧拉和nsv。
@Beta：是的。但是通过数学计算，结果与 2 级的 Runge-Kutta 相同。
想一想，这也是精确解：dx = vt + at^2/2
@Beta：这就是我说错误应该消失的原因。 :-) 但是，将值投影到区间的一半，然后使用它来更新整个区间的所有内容的想法是 2 次的 Runge-Kutta。如果解决方案是二次多项式（在这种情况下），那么将导致找到确切的答案。否则你的错误将是O(h**3)。

【解决方案2】：

在现实生活中，球向上运动并减速，到达顶点（远地点），其速度瞬间为零，然后向下运动并加速。在任何时间间隔内，它都在与势能（高）交换动能（快）。

在欧拉方法中，它在区间内以恒定速度移动，然后在区间结束时突然改变其速度。因此，在向上的旅程中，它以高速上升，然后减速，获得的高度超出了应有的高度。在向下的那条腿上，它缓慢地向下爬行，几乎没有失去高度，然后加速。

在 nsv 方法中，情况正好相反：在上升过程中它“过早”失去速度并且不会变得非常高，在下降过程中它匆忙到达地面而没有增加太多速度。

这两种方法的极限相同，timeDelta 归零。（如果该声明没有意义，请不要担心，这只是微积分。）如果您将timeDelta 设为小，效果应该会消失。或者您可以使用能量作为主要变量，而不是 {position, velocity}，但数学会稍微复杂一些。

【讨论】：

【解决方案3】：

集成将人工阻尼引入系统。我相信你可以通过对积分方案进行傅里叶分析来确定多少，但我必须在细节上刷新我的记忆。

【讨论】：