从 Matlab 中的任意离散概率密度函数生成随机样本

Question

我有一个任意概率密度函数在 Matlab 中离散为矩阵，这意味着对于每对 x,y，概率存储在矩阵中： A(x,y) = 概率

这是一个 100x100 矩阵，我希望能够从该矩阵中生成二维 (x,y) 的随机样本，并且如果可能的话，还希望能够计算PDF格式。我想这样做是因为在重新采样后，我想将样本拟合到一个近似的高斯混合模型。

我一直在寻找任何地方，但我没有找到任何像这样具体的东西。我希望你能帮助我。

谢谢。

Answer 1

如果你真的有一个由A 定义的离散概率密度函数（而不是一个由A 描述的连续概率密度函数），你可以通过将你的二维问题变成一维问题来“作弊” .

%define the possible values for the (x,y) pair
row_vals = [1:size(A,1)]'*ones(1,size(A,2));  %all x values
col_vals = ones(size(A,1),1)*[1:size(A,2)];  %all y values

%convert your 2D problem into a 1D problem
A = A(:);
row_vals = row_vals(:);
col_vals = col_vals(:);

%calculate your fake 1D CDF, assumes sum(A(:))==1
CDF = cumsum(A); %remember, first term out of of cumsum is not zero

%because of the operation we're doing below (interp1 followed by ceil)
%we need the CDF to start at zero
CDF = [0; CDF(:)];

%generate random values
N_vals = 1000;  %give me 1000 values
rand_vals = rand(N_vals,1);  %spans zero to one

%look into CDF to see which index the rand val corresponds to
out_val = interp1(CDF,[0:1/(length(CDF)-1):1],rand_vals); %spans zero to one
ind = ceil(out_val*length(A));

%using the inds, you can lookup each pair of values
xy_values = [row_vals(ind) col_vals(ind)];

我希望这会有所帮助！

芯片

Answer 2

我不相信 matlab 具有生成具有任意分布的多元随机变量的内置功能。事实上，单变量随机数也是如此。但是虽然后者可以很容易地根据累积分布函数生成，但多元分布不存在 CDF，因此生成这样的数字要麻烦得多（主要问题是 2 个或更多变量具有相关性）。所以你的这部分问题远远超出了本站的范围。

由于有一半的答案总比没有答案好，以下是如何使用 matlab 数值计算均值和更高矩的方法：

%generate some dummy input
xv=linspace(-50,50,101);
yv=linspace(-30,30,100);
[x y]=meshgrid(xv,yv);

%define a discretized two-hump Gaussian distribution
A=floor(15*exp(-((x-10).^2+y.^2)/100)+15*exp(-((x+25).^2+y.^2)/100));
A=A/sum(A(:)); %normalized to sum to 1

%plot it if you like
%figure;
%surf(x,y,A)

%actual half-answer starts here    

%get normalized pdf
weight=trapz(xv,trapz(yv,A));
A=A/weight; %A normalized to 1 according to trapz^2

%mean
mean_x=trapz(xv,trapz(yv,A.*x));
mean_y=trapz(xv,trapz(yv,A.*y));

因此，关键是您可以使用对trapz 的两次连续调用对矩形网格执行二重积分。这允许您计算与网格具有相同形状的任何数量的积分，但缺点是必须独立计算矢量分量。如果您只想计算可以用x 和y 参数化的东西（它们的大小自然与您的网格相同），那么您无需做任何额外的思考就可以相处。

您还可以为集成定义一个函数：

function res=trapz2(xv,yv,A,arg)

if ~isscalar(arg) && any(size(arg)~=size(A))
    error('Size of A and var must be the same!')
end

res=trapz(xv,trapz(yv,A.*arg));

end

这样你就可以计算出类似的东西

weight=trapz2(xv,yv,A,1);
mean_x=trapz2(xv,yv,A,x);

注意：我在示例中使用 101x100 网格的原因是对 trapz 的双重调用应该以正确的顺序执行。如果您在调用中交换xv 和yv，由于与A 的定义不一致，您会得到错误的答案，但如果A 是正方形，这将不明显。我建议在开发阶段避免使用对称量。