需要帮助优化 Project Euler 问题的解决方案 #12

Question

我再次从 Project Euler 挑战中获得乐趣，我注意到我的 12 号解决方案是我最慢的解决方案之一，每次运行时 ~593.275 ms。这是我在~1254.593 ms 每次运行时的第 10 号解决方案的第二个解决方案。我的所有其他答案在3 ms 下运行的时间都少于1 ms。

Problem 12 的我的 Java 解决方案：

main():

int index = 1;
long currTriangleNum = 1;

while (numDivisors(currTriangleNum) <= 500) {
    index++;
    currTriangleNum += index;
}

System.out.println(currTriangleNum);

numDivisors():

public static int numDivisors(long num) {  
    int numTotal = 0;

    if (num > 1)
        if (num % 2 == 0) {
            for (long i = 1; i * i <= num; i++)
                if (num % i == 0)
                    numTotal+=2;
        } else {
            // halves the time for odd numbers
            for (long i = 1; i * i <= num; i+=2)
                if (num % i == 0)
                    numTotal+=2;
    }
    else if (num == 0)
        return 0;
    else if (num == 1)
        return 1;
    else (num < 0)
        return numDivisors(num *= -1);

    return numTotal;
 }

.

翻遍解决方案论坛，有人发现these formulas(n = (p^a)(q^b)(r^c)... & d(n) = (a+1)(b +1)(c+1)...) 为他们工作，但我个人不认为它会更快；手动速度可能更快，但不是在程序中。

.

基本思路如下：

我们要计算48中的除数个数。通过查看下面的因子树，我们可以得出结论48 = (2^4)(3^1) [n = (p^a)(q^b)(r^c)... ].

  48
 /  \
2   24
   /  \
  2   12
     /  \
    2   06
       /  \
      2    3 

知道了这一点，我们构造公式d(48) = (4+1)(1+1) [d(n) = (a+1)(b+1)(c+1)...] 来确定 48 有 10 个因数。

d(n)  = (a+1)(b+1)(c+1)...
d(48) = (4+1)(1+1)
d(48) = (5)(2)
d(48) = 10

.

如何优化我的代码？这些公式是最好的解决方案吗？我觉得找到所有主要因素，然后实施公式会比我已有的程序花费更长的时间。

非常感谢，

贾斯蒂安

编辑：

在任何人开始发布链接之前，我已经在 SO 中查看了类似的问题，但没有任何运气 - 我只是想不出他们的方法的实现会比我已有的方法运行得更快。

EDIT2：

我在 Eratosthenes 筛上的第二次尝试（针对第 10 题）：

int p = 3, n = 2000000;
long total = 0;
boolean[] sieve = new boolean[n];

for (int i = 3; i < n; i += 2)
    sieve[i] = true;

sieve[2] = true;

while (p * p < n) {
    for (int i = p; i < n; i++)
        if (sieve[i] && (i % p) == 0)
            sieve[i] = false;
    p++;

    while (!sieve[p])
        p++;
}

for (int i = 0; i < n; i++)
    if (sieve[i])
        total += i;

System.out.println(total);

在~985.399 ms 运行 - 没有比其他方法快太多，但尚未优化。但是，它可以工作。

Answer 1

使用底层数学结构，这将极大地改变程序的运行时间。顺便说一句，这也适用于问题 10；如果你不能在几毫秒内完成，你就使用了一个非常低效的算法。事实上，我建议你先解决问题 10，因为问题 12 建立在它之上。

我将为下面的问题 12 提供一个更好的算法，但首先，这里有一个可以显着加快程序速度的观察结果。如果两个数 x 和 y 互质（即它们没有除 1 之外的公约数），则 d(x·y) = d(x)·d(y)。特别地，对于三角形数，d(n·(n+1)) = d(n)·d(n+1)。因此，不是迭代三角形数 n·(n+1)，而是迭代 n：这将显着减小传递给 d(n) 的参数的大小。

如果您进行该优化，您会注意到您连续计算 d(n) 两次（一次为 d((n-1)+1)，一次为 d(n)）。这表明缓存 d 的结果是一个好主意。下面的算法可以做到这一点，但也计算 d 自下而上而不是自上而下，这更有效，因为乘法比因式分解要快得多。

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Problem 10 可以通过sieve of Eratosthenes 的简单应用来解决。填充大小为 2000000 的布尔数组（即位向量），如果 i 是素数，则使用 sieve[i]==true；然后将sieve[i]==true的数字相加。

Problem 12 可以通过 Eratosthenes 筛的推广来解决。不要将sieve[i] 设为一个布尔值来表示i 是否为素数，而是将其设为一个数字，表示它是非素数的方式数，即i 的除数数。修改 Eratosthenes 的基本筛子很容易做到这一点：与其将 sieve[x*y] 设置为 false，不如将​​其加 1。

随后的几个项目欧拉问题受益于类似的方法。

您可能遇到的一个问题是，在问题 12 中，不清楚何时停止计算筛子。您可以采取两种方式：
1. 按需按块计算筛子，这本身就是一个有价值的编程练习（这将需要比第二种方法更复杂的代码）
2. 或者从高估一个界限开始：找到一个有超过 500 个除数的三角形数，你知道你会在那个数字之前或那个数字处停下来。

如果您意识到您只需要关心奇数，您可以获得更多时间，因为如果 n 是奇数，则 d(2^k·n) = (k+1)·d(n)，并且找到 k 和仅给定 (2^k·n) 的 n 在二进制计算机上速度很快。我将把优化的细节留作练习。

Answer 2

您是否考虑过分解素数并跟踪素数以便不必重新计算它们？

Answer 3

我之前做过这个，所以我不记得所有的优化，这里有一些：

1. 对 sum(1...n) 使用求和公式
2. 用方法查找素因数 在问题 7 和问题中描述 10
3. 根据素数分解确定 n 有多少个除数*

*如果您不知道“规则”，请将此视为概率问题。例如，您有四种口味可以添加到咖啡中，您有多少种选择？