为什么我的 NAudio FFT 结果与 MATLAB 相差 4 倍？

Question

以下 C# NAudio 代码与 MATLAB 产生的结果相差 4 倍。为什么会发生这种情况，其中一个是不正确的？

Complex[] tmp = new Complex[4];
tmp[0].X = 1.0f;
tmp[1].X = 0.5f;
tmp[2].X = 1.0f;
tmp[3].X = 0.25f;
tmp[0].Y = 0.0f;
tmp[1].Y = 0.0f;
tmp[2].Y = 0.0f;
tmp[3].Y = 0.0f;
FastFourierTransform.FFT(true, 2, tmp);

音频输出：

0.6875 + 0.0000i
0.0000 - 0.0625i
0.3125 + 0.0000i
0.0000 + 0.0625i

MATLAB 输出：

2.7500 + 0.0000i
0.0000 - 0.2500i
1.2500 + 0.0000i
0.0000 + 0.2500i

Answer 1

Discrete Fourier transform 及其逆需要一定的归一化，以便ifft(fft(x))==x。这种规范化的完成方式因实施而异。

在这种情况下，NAudio 似乎选择了与 MATLAB 不同的标准化。

MATLAB 使用最常见的归一化，其中k=0 处的fft(x) 等于sum(x)，逆变换做同样的事情，但除以n（样本数）。这也是Wikipedia page for the DFT 中描述的等式。在这种情况下，逆变换匹配傅里叶级数的方程。

NAudio 似乎在前向变换中通过n 进行除法，因此在k=0 你有mean(x)。

鉴于上述情况，您可以使用第一个频率区间（直流分量）来验证使用了什么归一化（假设有直流分量，如果信号为零意味着这将不起作用）：如果直流分量等于所有样本值的总和，则使用“通用”归一化。在对称定义的情况下，它也可以等于总和除以sqrt(n)，其中正向和逆变换进行相同的归一化。对于 NAudio，它将等于总和除以 n（即样本值的平均值）。通常，取直流分量并除以样本值的总和。结果q 是使用的规范化术语。逆变换应该有一个归一化项1/qn。