整数除法矩阵之和

Question

这是之前 HackerEarth Challenge 的一个问题 -

Roy 有一个大小为 NxN 的矩阵。行和列从 1 到 N 编号。 第 i 行的第 j 列包含整数除法 i/j。

换句话说，Matrix[i][j] = int(i/j) 其中 1 ≤ i, j ≤ N。

Your task is to find sum of this matrix i.e.

sum = 0
for i=1 to N-1
    for j=1 to N-1
        sum += Matrix[i][j]
Constraints:
1 ≤ T ≤ 10
1 ≤ N ≤ 1000000

这是我对这个问题的解决方案

#include <cstdio>
#include <cassert>
using namespace std;
#define MAXT 10
#define MAXN 1000000
long long solve(long long N){
    long long ans = 0;
    for(int i=1;i<N-1;i++)
    {
    for(int j=1; j<N-1 ; j++)
    {
        int temp = N*i/j;
        ans = ans + temp;
    }
    }
    return ans;
}
int main(){
    int T, N;
    scanf("%d", &T);
    assert(T>0 and T<=MAXT);
    while(T--){
        scanf("%d", &N);
        assert(N>0 and N<=MAXN);
        printf("%lld\n", solve((long long)N));
    }
    return 0;
}

但是这个程序的输出不正确。

所以请告诉我我是否在这里正确地取得了成就。 如果是的话，我还能做些什么来优化这段代码。感谢您的帮助。

Answer 1

请注意，int(i/j) 对于较大的 j 值变化不大

即如果j = 1000 int(i/j) 对于1-1000 将是0，那么对于1000-2000 它将是1，依此类推。使用这一事实，您可以创建复杂度低得多的算法。

例如如果N = 50000，那么对于j = 1000，你将得到0... (1000)times + 1 ..(1000)times + 2..(1000)times....直到49,000/1000... (1000)times。

即div = N/jans += (div *(div-1) *j)

如果N/j 不是如下代码所示的整数，您还需要进行更正。

long long solve(long long N){
    long long ans = 0;
    long long div, mod;
    for (int i = 1; i <= N; i++)
    {
        div = N/i;
        mod = i- N%i;
        ans += (div * (div+1) * i)/2;

        // For the case when N does not go directly into i,
        // e.g. N = 47500, i = 1000, the last 500 need to be removed from the sum
        ans -= (mod-1) * div;
        printf ("\n i = %d, ans = %lld",i,ans);
    }
    return ans;
}

这是 O(n) 复杂度。

编辑：已更正以修复预期结果。

Answer 2

第一列是1, 2, 3, 4, 5, ...。
第二列是0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, ...。
第三列是0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, ...。

然后使用算术级数求和公式导出公式以计算O（1）中无循环列的总和，并准确计算每列的开头和结尾。 然后遍历列。这将为您提供适合给定约束的 O(n) 解决方案。

Answer 3

从复杂性的角度来看：

int x = int(i/j) 仅在 i >= j 时表示 x > 0。这样可以避免很多不必要的加法和除法。

即if Matrix[i][j] = int(i/j); then Matrix[i][j] = 0; for (i < j)

因此，for 循环应该是：

for i=1 to N-1
    for j=1 to i
        sum += Matrix[i][j];

更新 1：在 OP 使用示例输出更新问题后，i 的 for loop 似乎应该运行到 N。修改代码如下：

for(i = 1; i <= N; ++i)
    for(j = 1; j <= i; ++j)
        sum += (int)(i/j);

Answer 4

注意for-loop 条件

for i=1 to N-1  // in pseudo code

应该是

for(int i=1;i < N;i++)

或

for(int i=1;i <= N-1;i++)

但不是for(int i=1;i < N-1;i++)（该选项会丢失最后一项）。

接下来，像i/j 这样带有整数的表达式是整数除法，它只有结果的整数部分（没有四舍五入）。如果i < j，这将导致0 值。

最后一个，总结表达式应该是（来自sum += Matrix[i][j]）为

ans += Matrix[i][j];

但是你的矩阵在哪里？

更新

如果出于同样的原因，您使用表达式 N*i/j 而不是矩阵中的值 (Matrix[i][j])，并且您希望使用 整数运算，您可以将代码最小化为：

long long solve(long long N){
    long long ans = 0;
    for (int i = 1; i < N; i++)
    {
        for (int j = 1; j < N; j++)
        {
            ans += N * i / j;
        }
    }
    return ans;
}

同时你应该明白long long不能在N > 1000000时让你免于算术溢出

更新 2：

检查有关1 ≤ i, j ≤ N 的任务，如果真的是for as

   for (int i = 1; i <= N; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= i; j++)
        {
             ans += i / j;
        }
    }