对称矩阵中的线性索引答案

【问题标题】：Linear indexing in symmetric matrices对称矩阵中的线性索引
【发布时间】：2013-10-02 18:02:34
【问题描述】：

我们可以使用遵循这种模式的线性索引来访问矩阵

0 1 2

3 4 5

6 7 8

在这种情况下很容易获得 i,j 坐标（n 是矩阵维度）。对于基于 0 的索引，它会是。

i = 索引/n

j = 索引 % n

现在，如果我的矩阵是对称的，我只想访问上面的部分，该怎么办

0 1 2 3

.. 4 5 6

..... 7 8

........ 9

我知道线性索引将由下式给出

索引 = j + n*i - i (i-1) / 2

但我想知道给定 idx 的 i,j。你们知道这样做的任何方法吗？我在这里查了这个，但我找不到答案。提前致谢。

【问题讨论】：

至少在 Matlab 中，矩阵是行主导的，所以你的索引是关闭的。您可以不使用 Matlab 的原生 triu 函数，还是真的只需要这些索引而不是上三角矩阵？为什么同时使用 c++ 和 Matlab 标签？你到底在找什么？
MATLAB 中有一个函数叫做ind2sub。你可以试试看。

标签： c++ algorithm matlab matrix

【解决方案1】：

如果你想使用你使用的索引，并且你想避免循环，你可以反转索引的函数。我将使用 k 来表示线性索引，并且所有索引都是从零开始的。正如你所指出的

k = j + n*i - i*(i-1) /2.

看到我们在这里使用正整数，并且所有组合 (i,j) 映射到不同的 k 的事实意味着该函数是可逆的。我这样做的方式是首先注意这一点

j = k - n*i + i*(i-1)/2

这样，如果您可以找到您所在的行，则该列由上述等式定义。现在考虑你想要的行，它被定义为

行 = 最小{ i | k - ni + i(i-1)/2 >= 0 }.

如果你求解二次方程 k - ni + i(i-1)/2 = 0 并取 i 的底，这会给你行，即

row = floor( (2n+1 - sqrt( (2n+1)^2 - 8k ) ) / 2 )

然后

j = k - 行 * n + 行 * (row-1)/2。

在伪代码中是

//Given linear index k, and n the size of nxn matrix
i = floor( ( 2*n+1 - sqrt( (2n+1)*(2n+1) - 8*k ) ) / 2 ) ;
j = k - n*i + i*(i-1)/2 ;

这消除了循环的需要，并且对于大型矩阵来说会更快

【讨论】：

+1 Awww，我只是在我的循环答案中添加了这些内容。请注意，这给出了 j 相对于行。例如，使用n=4,k=8 我得到i=2,j=1。如果您希望j 相对于整个矩阵，请将i 添加到结果中。
是的，问题是我的索引表达式不对，应该是："k = j + n*i - i*(i-1) /2 - i"，但是现在获取的是方程并不那么简单，因为二次方程的解是： i = floor( ( 2*n-1 - sqrt( (2n-1)*(2n-1) - 8*k ) ) / 2 ) ；它可以有虚根。

【解决方案2】：

由于还没有人发布 Matlab 解决方案，这里有一个简单的单行：

idxs = find(triu(true(size(A))))

给定矩阵A，这将返回所有索引的向量，这样idxs(k) 会将第 k 个线性索引返回到矩阵的上三角部分。

【讨论】：

【解决方案3】：

这是对 Keeran Brabazon 回答的评论。 k = j + ni - i(i-1) /2 - 这是你帖子中的方程，它是错误的，正确的方程是 k = j + (2*n -1 -i) *i/2。但我们不能用它来寻找 i。

您帖子中的方程式可用于查找 i（行索引），但我们无法将 i 代入您的方程式并得到 j，因此您帖子中 j 的公式是错误的，因此最终结果将如下所示这个：

i = floor( ( 2*n+1 - sqrt( (2n+1)*(2n+1) - 8*k ) ) / 2 ) ;（和你的一模一样）

j = k - (2*n-1- i)*i/2; （与您的版本不同，我通过将 i 代入我的方程式来得到它）

【讨论】：

【解决方案4】：

遍历你的行，跟踪每一行的偏移量和每一行的起始索引：

offset = 0;
startOfRow = 0;
for(i=0;i<height;i++){
    endOfRow = startOfRow + (width - offset);
    if(idx < endOfRow){ 
        j = (idx - endOfRow) + width;
        return {i,j};
    } else {                           
        startOfRow = endOfRow;
        offset++;
    }
}

我不知道 Matlab，所以它只是伪代码，但它应该可以工作。正如 horchler 所说，确保您的索引是正确的。我在这里使用了i,j，就像您在示例中使用的那样，但我觉得它奇怪。

【讨论】：

【解决方案5】：

这是我能想到的最简单的方法：

int i = 1, j, x=n;
while (idx > x)
{
    i++;
    idx=idx-x;
    x--;
}
j=idx+(i-1);

return i, j;

【讨论】：

【解决方案6】：

对于基于 0 索引：

int j = 0;
int x = (n-1);
while (idx > x) {
    j++;
    idx=idx-x;
    x--;
}
i=idx;

【讨论】：

【解决方案7】：

你可以用这个

idxs = find(triu(true(size(A)))');

这是对马特答案的更新。 B，因为您想要逐行表示。

【讨论】：

【解决方案8】：

MATLAB 附带内置函数 ind2sub 和 sub2ind。请查看 MATLAB 的文档。

请注意，在 MATLAB 中，线性索引沿行向下，索引从 1 开始

示例：对于 3 x 3 矩阵

1 4 7

2 5 8

3 6 9

【讨论】：