信息学奥林匹克问题和颜色区间？答案

【问题标题】：Informatics Olympiad Questions and Color Interval?信息学奥林匹克问题和颜色区间？
【发布时间】：2015-03-27 10:43:13
【问题描述】：

这是 2013 年本地 INOI 信息学奥林匹克问题。

假设我们在实轴上有1393 点。我们想给这个上色点使得对于每个任意区间 [a, b]，如果至少有一个 1393 个点在区间内，至少有一个点在区间内区间与该区间内的其他点颜色不同。和这可以做多少种颜色？（最佳答案是 11）。

INOI Commit 回答 11。我们如何计算这个问题？

【问题讨论】：

问题看起来不完整。据我了解，两种颜色就足够了。只需交替点的颜色即可。
@Dialectus：这正是我最初的想法。然后我更仔细地阅读了这个问题：对于每个区间，必须有一个点的颜色与区间中所有其他点的颜色不同。例如，对于包含颜色为 B、W、B、W 的四个点的区间，情况并非如此。
这和编程有什么关系？
我投票决定将此问题作为题外话结束。
@MarcGlisse：你在实线上有 N 个点的集合 S。 S 的每个点都被分配了 k 种颜色中的一种。这样一来，只要 S 和一些 [a,b] 的交集不为空，就会有一种颜色，因此只有该颜色的一个点在交集中。显然，如果每个点都有自己的颜色，k=N，这就满足了。任务：对于 N=1393，确定具有该属性的最小数 k。

标签： c++ algorithm math data-structures discrete-mathematics

【解决方案1】：

声明

你可以用 k 种颜色着色的最多点数是 2^k-1。

证明

如果我们有 0 种颜色，那么显然我们不能为任何点着色，所以这对于 k==0 是正确的。

对于 k>0，我们使用归纳法。

考虑包含所有点的区间。必须有 1 种颜色恰好出现一次。考虑该点左侧的点。这些点用 k-1 种颜色着色，因此最多可以有 2^(k-1)-1 个。

同理，右边最多有2^(k-1)-1个。

所以总共最多可以有 1+2^(k-1)-1+2^(k-1)-1=2^k-1 个点，有 k 种颜色。

2^10-1=1023, 2^11-1=2047，所以这显示了 11 种颜色的下限，而 TonyK 给出的结构表明这是可以实现的。

【讨论】：

这个答案几乎让我的答案变得多余——它立即暗示了我所描述的结构。
@TonyK 右边最多有 2^(k-1)-1 个。表示有 2^(k-1)-1 个点？
右边最多有 2^(k-1)-1 个。表示有 2^(k-1)-1 个点？

【解决方案2】：

如果第 n 个点的颜色仅由 n 的二进制扩展中尾随零的数量决定，则满足条件。我们可以使用 11 种颜色来完成此操作，最多 2047 个点。

反过来——我们可以用更少的分数来做——是另一个问题。

以 15 分为例：

Binary Trailing zeroes Colour
------ --------------- ------
1      0               blue
10     1               red
11     0               blue
100    2               green
101    0               blue
110    1               red
111    0               blue
1000   3               yellow
1001   0               blue
1010   1               red
1011   0               blue
1100   2               green
1101   0               blue
1110   1               red
1111   0               blue

【讨论】：

我听不懂。能否举个例子说明一下？
@Dialectus，请您添加这个好主意作为答案。
+1 Tonyk，但你所说的“反过来——我们可以用更少的分数来做——是另一个问题。”请在您的答案中添加更多细节。
@MaryamGhizhi：我已经证明 11 种颜色就足够了。但我还没有证明 10 种颜色是不够的。
@Maryam：继续我的示例序列，直到达到 1393。最难的部分是再想出七个颜色名称。