找到具有最多 1 的 nXn 子矩阵

Question

我试图解决这个问题但没有成功：

给定 3n X 3n 布尔矩阵，在 O(n^2) 中找到具有最多 1 的 nXn 子矩阵。

我有一个想法，但它是 O(n^3)。

想法：

计算矩阵中从 (0,0) 开始的 1 并向右移动并仅检查应添加的新列与应删除的列。羽绒也是同样的想法。
每个子矩阵计算是 O(n^2) 并且传递所有矩阵是 O(n) 所以太多了。

我看不到如何通过 3n X 3n 矩阵（即 O(n^2)）以及计算 O(1) 中 1 的数量。

有什么想法吗？

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为 MBo 编辑：

这是原始矩阵：The martix 在运行两个 for 循环后，CS 看起来像：CS martix

所以如果你想计算从 (0,0) 到 (1,1) 的矩阵，总和将是

sum = CS[1,1] + CS[0,0] - CS[1,0] - CS[0,1] which is 2 + 1 - 2 - 1 = 0

但实际结果应该是 2。

Answer 1

首先，正如您所指出的，有 O(n^2) 个大小为 n x n 的子矩阵，实际上是 (2n+1)^2 个子矩阵，因此您需要能够更新 O 中 1 的数量(1)，为了得到一个O(n^2)的算法。

为了在沿 3n x 3n 矩阵移动时更新 1 的数量，您必须进行一些预处理，如果没有，显然需要 O(n^3)。这个想法是在每个单元格中存储其右侧和下方的 1 的数量。也就是说，假设您的初始矩阵是 M，那么您将需要两个额外的矩阵：

R[i,j] = M[i,j] + R[i,j+1] （计算其右边 1 的个数）

B[i,j] = M[i,j] + B[i+1,j] （计算下面 1 的个数）

然后，您可以在 O(1) 中计算列或行的任何段的 1 的数量。例如，列的前三分之一中的 1 的数量为 R[0,0] - R[n,0]。这允许您更新 O(1) 中 1 的数量。

例如，假设按照您的建议，您开始计算 (0,0) 矩阵中 1 的数量。假设您将 1 的个数存储在矩阵 Count 中，Count[0,0] 是 (0,0) 矩阵的个数。

那么，

Count[0][1] = Count[0][0] - (R[0][0] - R[n][0]) + (R[0][n] - R[n][n])

也就是说，我们减去第一列前三分之一的 1 的个数，再加上第 n 列（从 0 开始）的前三分之一的 1 的个数。

同样，

Count[1][0] = Count[0][0] - (B[0][0] - B[0][n]) + (B[n][0] - B[n][n])

也就是说，我们减去第一行前三分之一的 1 的个数，再加上第 n 行（从 0 开始）的前三分之一的 1 的个数。

而且，一般来说，

Count[i][j] = Count[i][j-1] - (R[i][j-1] - R[i+n][j-1]) + (R[i][j-1+n] - R[i+n][j-1+n])

或

Count[i][j] = Count[i-1][j] - (B[i-1][j] - B[i-1][j+n]) + (B[i-1+n][j] - B[i-1+n][j+n])

因此，您可以通过沿初始矩阵移动来更新 O(1) 中 1 的数量。这意味着您将能够在 O(n^2) 时间内计算每个子矩阵中 1 的数量。答案将是最大值。

希望对您有所帮助！

为了初始化R矩阵，我们首先赋值最后一列的值，也就是矩阵最后一列的值，然后我们应用递归(R[i,j] = M[i ,j] + R[i,j+1]) 从右到左。

for (i = 0...3n-1){
    R[i][3n-1] = M[i][3n-1]

    for (j = 3n-2...0) R[i][j] = M[i][j] + R[i][j+1]
}

与 B 相同，但使用行而不是列，并且从下到上：

for (j = 0...3n-1){
    B[3n-1][j] = M[3n-1][j]

    for (i = 3n-2...0) B[i][j] = M[i][j] + B[i+1][j]
}

Answer 2

计算矩阵的累积和

Copy the first row of source matrix A into matrix CS

for every row except for the first one:
   for every column:
       CS[r][c] = CS[r-1][c] + A[r][c]

for every row:
   for every column except for the first one:
       CS[r][c] += CS[r][c-1]

现在您可以在 y,x 处找到右下角的任何子矩阵的总和 （省略索引

 Sum = CS[y][x] + CS[y - n][x - n] - CS[y-n][x] - CS[y][x-n]

供参考：OpenCV 中的integral image

import random, pprint
a = [[random.randint(0,1) for _ in range(9)] for _ in range(9)]
pprint.PrettyPrinter(indent = 2).pprint(a)
cs = [[0]*10 for _ in range(10)]
for i in range(9):
    cs[0][i] = a[0][i]
for r in range(1, 9):
    for c in range(9):
       cs[r][c] = cs[r-1][c] + a[r][c]

for r in range(9):
    for c in range(1, 9):
       cs[r][c] += cs[r][c-1]
pprint.PrettyPrinter(indent = 2).pprint(cs)

maxs = -1
for r in range(2, 9):
    for c in range(2, 9):
        s = cs[r][c] + cs[r - 3][c - 3] - cs[r -3][c] - cs[r][c-3]
        if s > maxs:
            maxs = s
            best = (r, c)
print(maxs, best)


[ [1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0],
  [1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0],
  [0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0],
  [0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1],
  [0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1],
  [0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1],
  [1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1],
  [1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0],
  [1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1]]
[ [1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 0],
  [2, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 0],
  [2, 5, 5, 7, 7, 9, 10, 12, 12, 0],
  [2, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 15, 16, 0],
  [2, 5, 6, 9, 11, 14, 15, 18, 20, 0],
  [2, 6, 8, 11, 13, 16, 17, 20, 23, 0],
  [3, 7, 10, 13, 15, 19, 21, 24, 28, 0],
  [4, 9, 12, 16, 18, 23, 25, 28, 32, 0],
  [5, 10, 13, 18, 20, 25, 28, 32, 37, 0],
  [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]]

6 (4, 5)