如何将字符串转换为具有最少删除字符串字符数的回文？

Question

假设字符串是“anuja”，输出应该是 2，因为如果我删除字符 'u' 和 'n'，给定的字符串变成回文。因此输出应该是最小的删除次数。 更多示例：输入字符串：“ababa” 输出：0（无需移除） 输入字符串：“abcdba” 输出：1（删除“c”或“d”） 请解释一下算法。

Answer 1

让dp[i, j] = minimum number of removals needed to convert the substring [i, j] to a palindrome。我们有：

dp[i, i] = 0 for all i (every single character is a palindrome)

要找到dp[i, j]，让我们考虑一个随机字符串。我们有两种可能：

1. 第一个和最后一个字符相等：a[i] == a[j]。在这种情况下，我们可以将问题简化为找到需要删除的最小字符数，以使子字符串[i+1, j-1] 成为回文。

2. 第一个和最后一个字符不相等：a[i] != a[j]。在这种情况下，我们需要删除其中一个。我们将删除导致我们找到更好解决方案的内容。

所以我们有：

dp[i, j] = dp[i + 1, j - 1]                     # if a[i] == a[j]
           min(dp[i + 1, j], dp[i, j - 1]) + 1  # otherwise

以anuja 为例。我们会得到：

  | 1 2 3 4 5
-------------
1 | 0 1 2 2 2
2 |   0 1 2 3
3 |     0 1 2
4 |       0 1
5 |         0          

请注意，矩阵是从主对角线开始计算的，然后依次向上计算，对角线平行于主对角线。答案是dp[1, n]。

这类似于Levenshtein distance，但它只考虑删除。

Answer 2

您可以测量从字符串到其反向（忽略替换）的编辑距离（levenshtein 距离）。所需的值将是该值的一半。

这个问题类似于UVA 10739。这是example implementation。

一个示例实现（适用于您的情况）可以是：

string P, Q;
getline(cin, P);
Q = string(P.rbegin(), P.rend());
int p = P.size(), q = Q.size();

for(int i=0; i<=p; i++) { T[i][0] = i; }
for(int i=0; i<=q; i++) { T[0][i] = i; }

for(int i=1; i<=p; i++) {
    for(int j=1; j<=q; j++) {
        if (P[i-1] == Q[j-1])
            T[i][j] = T[i-1][j-1];
        else
            T[i][j] = min(T[i-1][j], T[i][j-1]) + 1;
    }
}

cout << "Case " << tt << ": " << T[p][q]/2 << endl;