有效计算多维数组的累积和？答案

【问题标题】：Efficiently calculate cumulative sum of a multidimensional array?有效计算多维数组的累积和？
【发布时间】：2020-06-26 15:59:32
【问题描述】：

如果我有一个一维数组 arr[x]

cumulative_arr[x]=cumulative_arr[x-1]+arr[x]

对于二维数组 arr[x][y]

cumulative_arr[x][y]=cumulative_arr[x-1][y]+cumulative_arr[x][y-1]-cumulative_arr[x-1][y-1]+arr[x][y]

如何将这种方法扩展到更大维度的数组？

4D 数组的累积和为：-

cumulative_sum[w][x][y][z] = sum of arr[i][j][k][l] for all i<=w,j<=x,k<=y and l<=z.

我想找到一个 N 维数组的方法。

【问题讨论】：

代码是Python还是C++？
任何实现/抽象都可以。我标记了两者以确保我不会遇到其他问题。
那么问题是关于在大型二维数组中找到任何矩形的总和？
不，这是关于找到任何多维数组的累积和。我将编辑帖子以包含更多详细信息
那么，你想求cumsum_arr[i, j, k, ...]和cumsum_arr[i - 1, j, k, ...]、cumsum_arr[i, j - 1, k, ...]、cumsum_arr[i, j, k - 1, ...]等之间的N维递推关系对吗？

标签： c++ python-3.x algorithm data-structures

【解决方案1】：

既然你标记为 C++，那么我们开始吧……

一维：

static const unsigned int ARRAY_CAPACITY = 64u;
int sum = 0;
sum = std::accumulate(&array[0], &array[ARRAY_CAPACITY], 0);

二维：

static const unsigned int MAXIMUM_ROWS = 32u;
static const unsigned int MAXIMUM_COLUMNS = 16u;
int sum = 0;
sum = std::accumulate(&array[0][0], &array[MAXIMUM_ROWS][MAXIMUM_COLUMNS], 0);

三维（说明经典的`for` 循环）：

int sum = 0;
for (int x = 0; x < CAPACITY_DIMENSION_3; ++x)
{
    for (int y = 0; y < CAPACITY_DIMENSION_2; ++y)
    {
        for (int z = 0; z < CAPACITY_DIMENSION_1; ++z)
        {
            sum += array[x][y][z];
        }
    }
}

如果数组槽对于所有维度都是连续的，则可以将数组转换为一维，并求和为一维数组。

【讨论】：

计算整个数组的总和。我想找到一个数组位置的累积和。一个例子是：对于所有 i
您是在询问给定位置的数组中的值吗？ Sum 通常意味着添加多个值。
是的，实际上我的意思是数组每个位置的累积和。我在编辑中提供了我想要的临时定义。
您可以将std::accumulate 替换为std::partial_sum （部分和是正确的术语，顺便说一句），并统一处理两个矩阵。我想知道是否可以为这些类型定义某种优雅的std::begin()。

【解决方案2】：

您可以创建一个递归函数，如下所示：

function dimensionalSum(arr: any[]){
    if(typeof arr[0] == 'number'){
        return arr.reduce((acc, num) => acc + num, 0);
    }
    return arr.reduce((acc, dim) => acc + dimensionalSum(dim), 0);
}

注意：示例是用 typescript 编写的，它只是一个概念证明。

这样，你有多少维度都没有关系。

【讨论】：

【解决方案3】：

如果您只需要一种在任意 N 维数组的所有维度上计算累积和数组的方法，那么在 Python 中，您可以利用 NumPy 的cumsum() 的强大功能：

import numpy as np


def cumsum_all(arr):
    result = arr
    for i in range(arr.ndim):
        result = np.cumsum(result, i)
    return result

测试这个会得到：

arr = np.arange((2 * 3)).reshape((2, 3))

print(arr)
# [[0 1 2]
#  [3 4 5]]

print(cumsum_all(arr))
# [[ 0  1  3]
#  [ 3  8 15]]

arr = np.arange((2 * 3 * 4)).reshape((2, 3, 4))

print(arr)
# [[[ 0  1  2  3]
#   [ 4  5  6  7]
#   [ 8  9 10 11]]
#  [[12 13 14 15]
#   [16 17 18 19]
#   [20 21 22 23]]]

print(cumsum_all(arr))
# [[[  0   1   3   6]
#   [  4  10  18  28]
#   [ 12  27  45  66]]
#  [[ 12  26  42  60]
#   [ 32  68 108 152]
#   [ 60 126 198 276]]]

【讨论】：

一维：

二维：

三维（说明经典的for 循环）：

三维（说明经典的`for` 循环）：